“最小”直觉型理论？

我为人们不断在类型理论中添加新类型感到惊讶，但似乎没有人提到一种最基本的理论（或者我找不到它）。我以为数学家喜欢极少的东西，不是吗？

如果我正确理解的话，在具有强制性的类型理论中Prop，λ-抽象和Π型就足够了。说够了，我的意思是它可以用作直觉逻辑。其他类型可以定义如下：

⊥ \overset{d Ë F}{=} Π α ： P [R Ø p 。 α \neg 一种 \overset{d Ë F}{=} 一种 \to ⊥ 一种 \land 乙 \overset{d Ë F}{=} Π C ： P [R Ø p 。 （ 一种 \to 乙 \to C ） \to C 一种 \lor 乙 \overset{d Ë F}{=} Π C ： P [R Ø p 。 （ 一种 \to C ） \to （ 乙 \to C ） \to C \exists_{X ： 小号} （ P （ X ） ） \overset{d Ë F}{=} Π α ： P [R Ø p 。 （ Π X ： 小号 。 P X \to α ） \to α

$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\$

我的第一个问题是，他们（λ，Π）真的足够了？我的第二个问题是，如果没有Prop像MLTT这样的强制性命令，我们最少需要什么？在MLTT中，Church / Scott /任何编码都不起作用。

编辑：相关

type-theory dependent-types

— 盛安安
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什么是“最小”类型。您认为它将拥有哪些属性？

— 拉斐尔

能够证明Coq可以证明什么？我承认我心中没有明确的答案D：

— 盛安安

但是我听说Coq添加了Universe多态性，我提出的最小系统显然不起作用。关于“能够证明（通常意义上的）MLTT能够证明”。我以为可以模拟W型？尽管我一般都没有把头缠住。

— 盛安安2016年

等等，似乎强制性的，Prop我们甚至不需要平等。

— 盛安安2016年

Answers:

为了详细说明加莱的解释，可以将具有强制性Prop和依赖类型的类型理论视为构造演算的某些子系统，通常与Church的类型理论相近。丘奇的类型理论与CoC之间的关系并不是那么简单，但是已经被Geuvers的优秀文章探讨过了。

但是，对于大多数目的而言，这些系统可以看作是等效的。然后的确，您可以花很少的钱就能完成工作，特别是如果您对经典逻辑不感兴趣，那么您真正需要的唯一东西就是无穷大公理：在CoC中无法证明任何类型的元素都超过1个！但是，只要有一个表示某种类型为无穷大的公理，就可以说是归纳原理和公理为的自然数类型 $0\neq 1$

$\Sigma$ $\Pi$ $\mathrm{Bool}$ $\bot$ $\top$ $\mathrm{Bool}$ 像这样：

一世 F b Ť H Ë ñ ⊤ Ë 升 s Ë ⊥

$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$

要进行元数学运算，您可能至少需要一个宇宙（例如，建立Heyting Arithmetic模型）。

$\Pi\Sigma$

有用的概述是ZF是黑客吗？由Freek Wiedijk撰写，实际上比较了所有这些系统上的硬数字（规则和公理数）。

— 科迪
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Σ

$\Sigma$

实际上不，我相信您也需要假设这些。我的错。

— 科迪

Church编码的问题在于，您无法获取类型的归纳原理，这意味着在证明有关它们的陈述时它们几乎没有用。

在系统的最小化方面，注释中提到的一种方法是使用容器和（W / M）类型，但是它们是可扩展的，因此在Coq或Agda之类的系统中使用起来并不方便。

$\Pi$ $\Sigma$ $\mu$ $\nu$

$\mu$ $\nu$

— 加莱
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