可判定性的建设性版本？

今天午餐时，我和同事们提起了这个问题，令我惊讶的是，杰夫·E（Jeff E.）认为问题是可决定的，这一观点并没有使他们信服（这是有关Mathoverflow的密切相关文章）。还可以确定一个更容易解释的问题陈述（“是P = NP吗？”）：是或否，因此始终输出这些答案的两个TM中的一个确定了问题。形式上，我们可以确定集合：仅为输入输出的机器，否则由决定的机器，或为输入进行输出的机器。 $S :=\{|\{P, NP\}|\}$ $1$ $1$ $0$ $2$

其中一个将其归结为基本上是这样的反对意见：如果这就是可判定性标准的弱性-这意味着我们可以形式化为一种可以证明是有限的语言的每个问题都是可以判定的-那么我们应该将一个标准化为不会以有限的方式确定可确定的许多可能的答案，不会造成任何问题。虽然以下内容可能是一个更强的标准，但我建议也许可以通过要求可判定性取决于能够显示出TM来进行精确说明，从本质上提出一种直觉主义的观点（我不倾向于-做我的任何一个同事，他们所有人都接受排除中间的法律）。

人们是否已正式确定并可能研究了可判定性的建设性理论？

computability undecidability

— 巴赫
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如果您认为任何标签都合适，请随时添加。

— G. Bach

f 虽然今天有午餐。

— Auberon

我的怀疑是建设性的可计算性会很无聊。（我发现他们的反对比他们抱怨的定义弱。）

— 拉斐尔

怎样一台机器并行搜索和证明并采取相应行动？假设问题是可以确定的，则计算机将始终停止并接受该语言。你允许吗？

P = N P

$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$

P \neq N P

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— Yuval Filmus

@ G.Bach您看不到它，因为我们不知道它的存在。但是，如果您假设不是独立的，则该程序可以运行。如果它是独立的，那么您的语言本身就是模型相关的，这有点奇怪。

P = N P

$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$

— Yuval Filmus

Answers:

我认为您要提出的问题是“可计算性理论是否具有建设性？”。正如您在“基础数学”邮件列表上的讨论中可能看到的那样，这是一个有趣的问题。

毫不奇怪，由于具有构造敏感性的人开发了许多递归理论，反之亦然。参见例如Besson的书和古老的元数学入门。显然，递归理论的前两章在经历极小的变化的情况下仍可以继续朝着建设性的方向发展：例如snm定理，Rice定理或Kleene递归定理保持不变。

在第一章之后，情况变得有些棘手。尤其是，算术层次结构的较高级别通常由真理概念定义。特别是，广泛使用的定理，例如低基定理，显然是无建设性的。

不过，也许更务实的反应是，这些“自相矛盾的可计算语言”仅仅是一种特质，可以（并且已经！）像不可测的实数集一样进行了详尽的研究，但是一旦最初的惊奇就被人们接受了。克服，就可以继续做更多有趣的事情。

— 科迪
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那些看起来很不错，谢谢！我将让问题再待一两天，以了解是否有人知道其他值得研究的线索。

— G. Bach

我还要添加“ 可计算性：道格拉斯·布里奇斯的数学素描本”。他在导言中讨论了经典推理与建构推理的问题。

— 卡韦

在经典逻辑中，在任何给定模型中，每个语句都是对还是错。例如，任何关于自然数的一阶陈述在“真实世界”中都为真或为假（在此情况下称为“ 真算术”）。那么，哥德尔的不完全性定理呢？它只是指出，没有真正的算术递归可枚举公理化是完整的。

关于与，大多数研究人员认为，其中一些以及一些娱乐性认为它独立于（例如）ZFC。假设您愿意承认它实际上并不独立于ZFC（以与您首先承认ZFC一致的方式相同）。在这种情况下，有一台完全明确的图灵机可以计算您的语言。机器搜索证明 $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ 或直到找到一个，然后进行相应处理。我们可以证明 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ 即使我们仍然不知道该语言到底是什么，该机器仍会接受您的语言！

如果您不愿意承认由ZFC决定，那么您仍然可以询问是否有明确的图灵机接受您的语言。我把这个令人难以置信的问题留给有兴趣的读者。 $\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

— Yuval Filmus
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（免责声明，是对模糊问题的模糊答案，可能更适合于cstheory）。可构造性在理论数学中是“大事”，但尤其是在连续的情况下（例如，著名的Banach-Tarski悖论）中表现出来。这些矛盾通常似乎没有出现在“ 到目前为止”的 “更离散的” CS中。那么CS中的（模拟/并行）可构造性是什么？答案似乎不太清楚。它的概念远不止于CS，而是起源于数学研究，而两者似乎并没有太多地“捆绑”在一起。

一个答案是，可判定性理论实际上是对可构造性的一种变化，即它是一种确定哪些集合是可计算的，似乎紧密相连的严格方法。

从本质上讲，可构造性解决了一些“不依赖ZFC”的问题，Aaronson着重探讨了这些领域。。

它并没有真正表明“悖论”似乎指向可构造性问题，但有人可能会以此作为粗略类比的粗略指南，如Aaronsons论文中那样，他认为例如甲骨文的结果似乎具有某种“悖论”的味道，尤其是贝克吉尔Solovay 1975结果是预言存在既使得P ^甲 = NP ^甲和P ^乙 ≠NP ^乙。Blum 间隙和加速定理是其他矛盾的东西。

CS 在其基本的时间/空间层次定理中专注于“时间/空间”可构造函数，这仅仅是一个巧合吗？（然后几乎“通过设计”排除了类似Blum的悖论？）

另一个答案是，正在对此进行积极的调查/研究。在数学上，可构造性与“大型红衣主教”息息相关：无限游戏的制胜策略：从大型红衣主教到计算机科学 / Ressayre。

马丁使用“ sharps”的大基数公理证明了分析的确定性：在两名球员之间的每一次完美信息的无限游戏中，一名球员存在获胜策略，前提是其中一名球员的获胜组合恰好是一种分析一。我修改并补充了他的证明，以便获得Rabin，Buechi-Landweber，Gurevich-Harrington有限状态确定性定理的新证明：存在有限状态机计算的获胜策略，当玩家的获胜集本身是有限的时国家接受。

— z
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