微积分如何/何时用于计算机科学？

许多计算机科学程序需要两个或三个演算类。

我想知道，计算机科学如何以及何时使用微积分？计算机科学学位的CS内容倾向于侧重于算法，操作系统，数据结构，人工智能，软件工程等。在某些情况下，微积分在计算机科学的这些或其他领域中有用吗？

我可以想到一些直接需要微积分的课程。对于计算机科学学位，我通常使用必修科目，但对于可选科目则使用斜体。

• 计算机图形 /图像处理，在这里你还需要解析几何和线性代数，重！如果您走这条路，您可能还需要研究一些微分几何（将多元微积分作为最低前提）。但是，即使是非常基本的内容，您在这里也需要微积分：例如，尝试搜索“傅立叶变换”或“小波”-这是使用图像的人的两个非常基础的工具。
• 优化，主要是非线性的，其中多元微积分是用于开发一切的基本语言。但是，即使是线性优化也可以从微积分中受益（目标函数的导数绝对重要）
• 概率/统计。如果没有多元演算，就无法认真研究这些内容。
• 机器学习，它大量使用统计信息（因此使用了多元微积分）
• 数据挖掘和相关主题，也使用大量统计信息；
• 机器人学，您将需要在其中建模机器人的物理运动，因此您将需要了解偏导数和梯度。
• 离散数学和组合数学（是的！您可能需要微积分进行离散计数！）-如果对生成函数足够重视，则需要知道如何积分和推导某些公式。这对于算法分析很有用（请参阅Sedgewick和Flajolet的书“算法分析”）。同样，泰勒级数和演算可用于求解某些种类的递归关系，这些递归关系可用于算法分析。
• Analysis of Algorithms，从一开始就使用极限的概念（请参阅Landau标记“ little ”-它是使用极限定义的）$o$

可能还有其他人-这只是我的脑袋。

而且，除此之外，通过学习如何以严格的技术推理和解释论证，可以从微积分课程中间接受益。这比学生通常认为的更有价值。

最后，您将需要微积分，以便与其他Exact Sciences and Engineering的人员进行互动。而且，计算机科学家不仅需要交谈，而且还需要与物理学家或工程师一起工作，这并不少见。

这有点模糊，但是微积分出现在代数数据类型中。对于任何给定类型，其单孔上下文的类型都是该类型的派生类型。有关整个主题的概述，请参见此精彩演讲。这是非常技术性的术语，所以让我们解释一下。

代数数据类型

您可能遇到过被称为产品类型的元组（如果不是，那是因为它们是两种类型的笛卡尔乘积）。我们将按字面意义使用并使用表示法：

$$a * b$$

表示一个元组，其中和都是类型。接下来，您可能遇到过求和类型，这些类型可以是一种类型，也可以是另一种类型（在Haskell中称为unions，variants或Either类型（kinda））。我们还将从字面上理解这一点并使用表示法：$a$$b$

$$a + b$$

之所以这样命名，是因为如果类型具有值，类型具有值，则类型具有值。$a$$N_a$$b$$N_b$$a + b$$N_a + N_b$

这些类型看起来像正常的代数表达式，实际上，我们可以（一定程度上）操纵它们。

一个例子

在函数式语言中，列表的通用定义（在此处由Haskell提供）是：

data List a = Empty 
            | Cons a List

这表示一个列表为空或一个值和另一个列表的元组。将其转换为代数符号，我们得到：

$$L(a) = 1 + a * L(a)$$

其中表示具有一个值的类型（也称为单位类型）。通过重复插入，我们可以对此求值以获得的定义：$1$$L(a)$

$$L(a) = 1 + a * L(a)$$ $$L(a) = 1 + a * (1 + a * L(a))$$ $$L(a) = 1 + a + a^2 * (1 + a * L(a))$$ L （a ）= 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5。。 $$L(a) = 1 + a + a^2 + a^3 * (1 + a * L(a))$$ $$L(a) = 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5...$$

（其中$x^n$

然后，此定义表示列表是单位，或者是一个项目的元组，或者是两个项目的元组，或者是三个项目的元组，这就是列表的定义！

单孔上下文

现在进入单孔上下文：单孔上下文是您从产品类型中“获取价值”时所获得的。让我们举个例子：

$a^2$$a$$a + a$$2a$

从三元组中取出一个值得到一个二元组，但是有三种不同的变体：

$$(a, a, \_)$$ $$(a, \_, a)$$ $$(\_, a, a)$$

$3a^2$$a^3$

对于最后一个示例，让我们使用一个列表：

如果我们使用原始表达式作为列表：

$$L(a) = 1 + a * L(a)$$

我们可以重新排列以获得：

$$L(a) = \frac{1}{1 - a}$$

（从表面上看，这似乎是胡说八道，但是如果采用此结果的泰勒级数，则会得到我们之前得出的定义。）

现在，如果我们对此进行区分，我们将得到一个有趣的结果：

$$\frac{\partial L(a)}{\partial a} = (L(a))^2$$

因此，一个列表已成为一对列表。这实际上是有道理的：产生的两个列表对应于原始列表中孔上方和下方的元素！

数值方法。存在一些麻烦的演算问题，这些问题是特定应用程序所独有的，并且它们需要的解决方案比人类无需程序即可实际解决的速度快。有人必须设计一种算法来计算解决方案。那不是唯一将程序员与科学家区分开来的东西吗？

自动化 -与机器人技术类似，自动化可能需要量化许多人类行为。

计算 -寻找证明的解决方案通常需要演算。

可视化 -使用高级算法需要微积分，例如cos，sine，pi和e。特别是在计算向量，碰撞场和网格划分时。

后勤和风险分析 -确定任务是否可行，所涉及的风险以及可能的成功率。

安全性 -大多数安全性无需演算即可执行；但是，许多想要解释的人在数学表达式中更喜欢它。

人工智能 -无需演算就可以利用人工智能的基础知识；但是，要计算高级行为，聚集智慧/蜂巢思维以及基于复杂价值的决策。

医疗计算 -可视化大多数健康数据需要微积分，例如心电图读数。

科学与工程 -与几乎所有其他科学学科一起工作时，都需要微积分：航空航天，占星，生物学，化学或工程。

许多编程人员可以不使用微积分就完成整个职业。但是，如果您愿意做这项工作，那就可以证明它是无价的。对我来说，它在自动化，物流和可视化方面最有效。通过识别特定的模式，您可以简单地忽略该模式，模仿该模式或共同开发一种更好的方法。

事实是，使用微积分的可能性很小。但是，几乎所有其他科学学科都使用微积分，而您正在攻读科学学位。对大学理学学位应该意味着什么有一定的期望，其中之一就是您知道微积分。即使您永远都不会使用它。

如果您在微积分方面做得不好，也可以，但是请确保您在离散数学上付出了一些努力。现实世界中有很多编程问题，离散数学在其中发挥作用，对它的原理的不了解会使您在其他编码人员面前感到尴尬。

许多人已经在CS中提供了应用程序。但是有时您会在最不期望的时候找到微积分：

重新检查正则表达式衍生物

如果您知道自动机，则此pdf可能值得阅读。

一些更具体的示例：

• 微积分用于导出增量规则，该规则允许某些类型的神经网络“学习”。
• 微积分可用于计算振荡函数的傅立叶变换，这在信号分析中非常重要。
• 微积分一直用于计算机图形学，随着人们不断发现新技术，这是一个非常活跃的领域。有关基本示例，请查看Kajiya的渲染方程式
• 微积分在计算几何学，研究曲线和曲面建模方面非常重要。

在这些其他出色的答案中，我要补充一点：严格的测试。

在为某些应用程序创建测试用例时，我不得不使用演算来预测预期的运行时间，内存大小，并在调整数据结构时选择最佳参数。这包括了解预期的舍入误差等。

虽然在其他答案中提到了统计信息，但我想特别提及蒙特卡洛算法，例如基于包括微积分在内的数学原理的优化算法和一些节俭的流算法。

我曾从事微积分工作的特定行业包括：

• 金融（创建交易平台）

• 保险（假设情景中保险单的数值集成，以计算预期的保险单损失）

• 物流（优化运输路线的合并）

• 信号处理

微积分-不可或缺的部分-直接用于CS中，作为思考求和的基础。如果您遍历Knuth的“具体数学”部分中有关求和的任何部分，您将很快认识到微积分常用的惯例：了解一些连续的情况将为您提供考虑离散的工具。

CS研究的许多用途涉及编程系统，这些系统可以监视变化，或者在某些情况下可以预测未来。这些系统周围的数学源于微分方程和线性代数，而微分方程则是...演算。像Gibert Strang这样的老师提倡更快地进入微分方程部分，但它仍然是微积分的子集。当变化取决于任何系统中的变化时，它就会以非直觉的方式并且非常容易理解的方式变得不稳定（稳定）。要了解为什么明智的线性系统以非线性方式运行，您要么需要微积分工具，要么需要为问题空间重新发明它们。

最后，CS经常需要阅读和理解他人的工作，而微积分是第一次接触大量共享的词汇，约定和历史。