如何证明NFA中的DFA可以具有指数级的状态？

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所有非确定性有限自动机都可以转化为等效的确定性有限自动机。但是，确定性有限自动机仅允许每个符号从状态指向一个箭头。因此，其状态应为NFA状态集的成员。这似乎表明，DFA的状态数可以根据NFA的状态数成指数增长。但是，我想知道如何实际证明这一点。

automata finite-automata nondeterminism

— 约翰·霍夫曼
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这是一个合理的问题，结构并不完全明显，但仍然可能是一个作业问题。因此，了解您想知道的原因会很有帮助。

这里有一些构造，但似乎应该在纸上某个地方。不知道裁判。我也想不到有这样一种构造，即NFA在其活动状态下以二进制计数，并且仅在大约

跃迁之后才接受...？

2^{n}

$2^n$

— vzn 2012年

另请参见cs.stackexchange.com/questions/3381/...

— 吉尔“SO-停止作恶”

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将NFA转换为另一个NFA但不对DFA执行此操作的操作是逆向操作（将所有箭头指向相反的方向，并将初始状态与接受状态互换）。由转化的自动机识别的语言是反转语言。 $L^R = \{u_{n-1}\ldots u_0 \mid u_0\ldots u_{n-1} \in L\}$

因此，一个想法是寻找一种具有非对称结构的语言。展望未来，应通过检查仅需要状态的前符号来识别该语言。向后，应该保留最后个状态的内存，这需要个状态，其中是字母大小。 $n$ $n + O(1)$ $n$ $A^n + O(1)$ $A$

我们正在寻找一种形式为的语言，其中由长度为的单词组成，是字母表的重要组成部分，不提供任何进一步的约束。我们不妨选择最简单的字母（单例字母不会，并且在那里不会得到较小的NFA），并且。非平凡的意味着。至于 $M_n S M'$ $M_n$ $n$ $S$ $M'$ $\mathscr{A} = \{a,b\}$ $M' = \mathscr{A}^*$ $S$ $S = \{a\}$ ，我们要求它与不相关（因此，反向语言的DFA将需要保留的内存）：取。 $M_n$ $S$ $S$ $M_n = \mathscr{A}^n$

因此，令。可以由具有个状态的简单DFA识别。 $L_n = (a|b)^n a (a|b)^*$ $n+2$

dfa

取反可得到NFA，它可识别。 $L_n^R = (a|b)^* a(a|b)^n$

识别的最小DFA至少具有状态。这是因为长度的所有单词必须在DFA达到不同的状态。（换句话说，它们属于不同的迈希尔-Nerode等价类。）为了证明这一点，取两个不同的话，并让是它们的不同（位置）。不失一般性，我们假设 $L_n^R$ $2^{n+1}$ $2^{n+1}$ $u,v \in \mathscr{A}^{n+1}$ $k$ $u_k \ne v_k$ 和。然后和（为区分扩展和）。如果和在DFA中识别出状态相同，那么和也会相同 $u_k = a$ $v_k = b$ $u b^k \in L_n^R$ $v b^k \notin L_n^R$ $b^k$ $u$ $v$ $u$ $v$ $L_n^R$ $u b^k$ $v b^k$ ，这是不可能的，因为一个导致了接受状态，而另一个则没有。

致谢：Wikipedia中引用了此示例，但未作任何解释。本文引用了我尚未阅读的一篇文章，该文章提供了更紧密的界限：
Leiss，Ernst（1981），“布尔自动机对常规语言的简洁表示”，理论计算机科学 13（3）：323–330，doi：10.1016 / S0304-3975（81）80005-9。

— 吉尔斯“别再邪恶了”
source

逻辑答案：DFA中的状态用作内存（用于存储一些信息，例如开关风扇开关），因此可以使用等效NFA中的状态组合来表示DFA中单个状态中可以表示的内容。这就是NFA相较于同等DFA具有更少状态的原因。现在，如果你有

在一组状态

然后设置的所有可能组合的

是电集即

，因此，如果我们反向的NFA

状态成等价的DFA，则DFA将包括最多的

状态。- 是否有意义？

n

$n$

Q

$Q$

Q

$Q$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

2^{n}

$2^n$

— Grijesh Chauhan 2014年

1

@GrijeshChauhan这不是问的问题。是的，很容易看到，对于具有

个州的每个NFA ，最多都有

个州的DFA 。但是在这里我们要看到达到边界，即对于任何

都有一个

状态NFA，这样最小的等效DFA 至少具有

个状态（或与其接近，这里我证明边界

）。

n

$n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

2^{n}

$2^n$

2^{n - 1}

$2^{n-1}$

— 吉尔斯（Gilles）'所以

嗯...阅读了两次您的答案并从评论“但现在我们希望看到界限已达到”之后，我本来可以理解。谢谢。

— Grijesh Chauhan 2014年

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考虑的语言以下家族： $L_n = \{ x_1, x_2, \ldots, x_k \# x_{k+1}: \exists i \in \{1, \ldots, k\} \text{ with } x_i = x_{k+1} \}$

的字母为。 $L_n$ $\{\#, 1,\ldots, n \}$

有一个具有状态的NFA 可以识别语言。它有副本。在第个副本中，我们猜测最后一个字母是，然后检查我们的猜测。用个状态构造这样的副本很简单。唯一的不确定性是处于初始状态。 $O(n)$ $L_n$ $n$ $i$ $i$ $3$

但是，由于DFA必须记住子集，因此没有DFA能够识别状态少于。 $L_n$ $2^{O(n)}$ $\{1,\ldots, n\}$

我很确定Sipser的书有这个例子。

— 盖伊
source

Siper的书中的结构产生的DFA的状态恰好为2 ^ n。如果NFA的状态集为Q，则DFA的状态集为Pow（Q），以便模拟NFA迁移所处的所有可能的“平行”状态。标准文本中用于此目的的构造清楚地表明了指数状态的可能性，在我看来，这不是研究水平。不过可能适合作为参考要求。

— 洛根·梅菲尔德，2012年

8

另一个例子是所有缺少一个字母符号的单词的语言。如果字母的大小为，则NFA可以“猜测”起始状态，因此接受具有个状态的语言。另一方面，使用Nerode定理，很容易看出该语言的最小DFA大小为。 $n$ $n$ $2^n$

此示例还显示，NFA在互补作用下可能导致指数爆炸。确实，众所周知，包含字母的所有符号的所有单词的语言所用的任何NFA（甚至无上下文语法）都必须具有指数级的状态。

— Yuval Filmus
source

1

⋃_{σ \in Σ} (Σ ∖ σ)^{*}

$\bigcup_{\sigma \in \Sigma} (\Sigma \setminus \sigma)^*$

Σ

$\Sigma$

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

2 n \cdot 2^{n}

$2n \cdot 2^n$

该示例的要点是爆燃与功率机组的构造完全匹配。确实存在一个具有相同爆破效果的二进制示例，但是更加复杂。

— Yuval Filmus

是的，这是一个很好的例子。

— 6005

1

O (n \log n)

$O(n\log n)$