有关多项式的问题的可判定性

我遇到了以下有趣的问题：令为实数域上的多项式，让我们假设它们的系数都是整数（即这些多项式的有限精确表示）。如果需要，我们可以假设两个多项式的次数相等。让我们表示由（RESP。）多项式的一些（实数或复数）根的绝对值最大（RESP。）。属性可确定？$p,q$$x_p$$x_q$$p$$q$$x_p = x_q$

如果不是，此属性是否适用于某些受限多项式族？在出现此问题的上下文中，多项式是矩阵的特征多项式，其根是特征值。

我知道一些用于计算多项式/特征值根的数值算法，但是这些似乎在这里没有用，因为这些算法的输出只是近似的。在我看来，计算机代数在这里可能有用，但是，不幸的是，我在该领域几乎没有任何知识。

我不是在寻找有关此问题的详细解决方案，但是在哪里寻找解决方案的任何直觉和想法都会有所帮助。

先感谢您。

我也不熟悉该领域，但是我认为我可以提供一个非建设性的答案。

实封闭域的一阶理论是可以决定的。您的问题可以用代数方程组和实代数上的不等式表示。考虑变量。您想知道以下系统是否可以满足： $2 (\deg P + \deg Q)$$x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

$$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$$

前两个方程族表示和是多项式的根，后两个不等式族表示和具有最大的绝对值，最后一个不等式比较这些最大的绝对值。$x_j+i\,y_j$$x'_k+i\,y'_k$$x_1+i\,y_1$$x'_1+i\,y'_1$

这个系统是否令人满意是可以决定的：您的问题是可以决定的。但是，此语句可能不是解决问题的最有效方法。

一个更有用的答案可能涉及Gröbner基的理论。如果您想自己解决该问题，我认为阅读任何计算代数书籍的前几章将为您提供必要的背景知识。如果您只是想解决您的根本问题，则可以使用一种现成的算法来实现。

我对此可能是错的：我在该领域也不是很博学（专家在哪里！？），但是我相信我对您的要求有一个相当快的算法。

为了简单起见，我将假设所有根源都是真实的。找出一个在的根上具有最高绝对值的区间（即，一个区间，使得对于所有其他根，和）。这种间隔可以通过二分法和Sturm定理的组合使用来找到。现在计算多项式GCD的和。验证在具有根（再次与Sturm定理相同）。$P$$I$$x_P\in I$$x_P'\notin I$$P$ $R$$P$$Q$$R$$I$

如果我没记错的话，则仅在和在具有相同的根时才具有这样的根，而这仅当是的根时才可能。Sturm定理和GCD的应用都相当快（实际上，多项式的大小不超过平方）。$R$$P$$Q$$I$$x_P$$Q$

这只是一个草图，但并不需要花很多时间就可以将其转变为一个真正的算法，实际上，我怀疑使用Maple或Mathematica可以使它变得微不足道。