语法和自动机语言的可判定性

请注意，这是在一所大学的CS固然与研究的一个问题，这不是功课，可以发现这里在2011年秋季exam2。

这是我过去考试所关注的两个问题。它们似乎是相关的，第一个是：

让

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}} = \{ < \! G \! > \mid G \text{ is a Context Free Grammar with } |\mathcal{L}(G)|<\infty \}$

证明是一种可判定的语言。 $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}}$

和...

让

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}} = \{ < \! M\!> \mid M \text{ is a Turing Machine with } |\mathcal{L}(M)|<\infty \}$

证明是一种不确定的语言。 $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}}$

我对如何解决这些问题有些迷茫，但是我有一些见解，我认为可能是正确的方向。我首先知道的是语言，其中 $A_{\mathrm{REX}}$

$\qquad A_{\mathrm{REX}} = \{ <\! R, w \!> \mid R \text{ is a regular expression with } w \in\mathcal{L}(R)\}$

是一种可决定的语言（证明在Michael Sipser的计算理论中，第168页）。同样的资料也证明了上下文无关文法可以转换为正则表达式，反之亦然。因此，可以转换为正则表达式，因此也必须是可确定的。这一点，而事实上，是联合国 -decidable，似乎是与此相关的问题。 $A_{\mathrm{CFG}}$ $A_{\mathrm{TM}}$

我能想到的唯一被传递g至用于图灵机和（G转换为正则表达式之后）。然后接受是否G拒绝如果G不这样做。作为是不可判定，这绝不会发生。我以某种方式觉得自己在这里犯了一个错误，但是我不确定这是什么。有人可以帮我在这里吗？ $A_{\mathrm{REX}}$ $A_{\mathrm{TM}}$ $A_{\mathrm{TM}}$

— 杰克兄弟
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“可以将上下文无关语法转换为正则表达式，反之亦然”（并非如此（除非您将其解释为“存在可以转换为正则表达式的CFG”），但我不认为这就是您的意思。的意思）。正则语法可以转换为正则表达式。由于无法使用正则表达式描述大多数上下文无关的语言（即，所有非上下文语言也不是正则语言），因此没有将CFG转换为正则表达式的算法。

— sepp2k 2012年

Answers:

将G转换为Chomsky Normal形式。这样，唯一的空派生将是在其他任何地方都不会出现的开始符号，因此，如果有某种生成物最终能够产生自身，那么语法是无限的。如果不存在这样的产生，则每个符号将只能生成有限的字符串集，然后语法是有限的。因此，建立一个有向图，其中每个产品是一个节点，产品中的每个符号都是针对该符号的边。如果图形具有某个周期，则CFG是无限的，否则就不是。因此图灵机为可以是构建体准确地这样做，然后 $FINITE_{CFG}$ 是可以决定的。 $FINITE_{CFG}$
假设是可确定的。假设是一个图灵机，具有一些字符串作为输入，并使用自身作为。如果返回true（即仅接受有限语言），则 $FINITE_{TM}$ $H$ $FINITE_{TM}$ $FINITE_{TM}$ $H$ $H$ 接受输入，这会导致矛盾，因为输入集是无限的（输入的长度是无限制的，因此接受任何可能的字符串作为接受无限字符串集的输入手段）。如果返回false（即的语言是无限的），则拒绝输入，这意味着的语言是有限的，因为它不接受任何输入（即其语言为空），这也导致了矛盾。这样，存在的假设会导致矛盾，并且该假设基于的假设 $FINITE_{TM}$ $H$ $H$ $H$ $H$ 是可以决定的。因此，通过矛盾，我们有是不可判定。 $FINITE_{TM}$ $FINITE_{TM}$

同样的资料也证明了上下文无关文法可以转换为正则表达式，反之亦然。

我真的很怀疑Sipser是否会声明您可能误读或误解了。这意味着与上下文无关的语法所产生的语言与线性语法完全相同。这是错误的；生成的右线性语法是无上下文语法dp的适当子集。也就是说，您尝试使用常规语言回答问题的方式只会导致您无所适从。

正如您在我的证明中看到的那样，这两个问题确实是两个非常不同的，不相关的问题。碰巧它们的措词是相似的。

— 维克多·斯塔夫萨（Victor Stafusa）
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在第二次证明之后，我遇到了一些问题。好的，所以您将H传递给G，是吗？如果G返回的真值大于H是有限的，那是有道理的。但是，我没有得到无限的输入集，您要引用的输入是什么？

— BrotherJack 2012年

@BrotherJack的

H

$H$ 的输入可以是任何长度，其长度是无限制的。它可以是只有一个符号的字符串，也可以是一百万兆字节长的输入。这样，可能的输入

H

$H$ 是无限集，因为我们可以使其任意大。

— 维克多·斯塔夫萨

好。这似乎是有道理的。将该输入称为“输入语言H中的任何可能的字符串”是否准确？

— BrotherJack 2012年

@BrotherJack-我编辑了答案，以使这一点更清楚。

— 维克多·斯塔夫萨

出色的解释！非常感谢您的宝贵时间。

— BrotherJack 2012年

另一种决策方式 $FINITE_{CFG}$ 是通过抽水引理。

抽引引理说每个CFL $L$ 有一个数字 $N$ （可以从语法中计算出来，或者至少可以很容易地计算出它的上限），这样 $x\in L$ 比 $N$ 可以“抽”。

这意味着 $L$ 是有限的，所有的单词 $L$ 短于 $N$ 。

现在，所有需要检查的是长度在 $N$ 和 $2N$ 。如果存在任何这样的词，那么 $L$ 是无限的。很难看出该语句是“如果且仅当”，因此，如果在此范围内找不到任何单词， $L$ 是有限的。这里的效率比Victor的答案差很多，但是它教会了CFL的结构。

— 冉G.
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