试图了解此Quicksort正确性证明

该证明是归纳证明，其内容如下：

P（n）是“快速排序对长度为n的每个输入数组正确排序”的断言。

基本情况：每个长度为1的输入数组都已排序（P（1）成立）

归纳步骤：修复n => 2.修复一些长度为n的输入数组。

需要说明：如果对于所有k <n，P（k）成立，那么P（n）也成立

然后，他绘制围绕某个枢轴p划分的数组A。因此，他绘制了p，并将数组<p的部分称为第一部分，将> p的部分称为第二部分。部分1的长度= k1，部分2的长度为k2。通过“分区”子程序的正确性证明（之前已证明），枢轴p缠绕在正确的位置。

通过归纳假设：第1，第2部分通过递归调用正确排序。（使用P（K1），P（k2））

所以：在递归调用之后，整个数组都将正确排序。

QED

我的困惑：我很难确切地看到这如何证明它的正确性。因此，我们假设P（k）确实适用于所有自然数k <n。

到目前为止，我看到的大多数归纳证明都类似：证明基本情况，并证明P（n）=> P（n + 1）。他们通常还涉及某种代数运算。这个证明似乎有很大的不同，我不理解如何将归纳概念应用到它。我可以合理地推断出Partition子例程的正确性是关键。因此，其正确性的理由如下：我们知道，每个递归调用都会围绕枢轴对数组进行分区。然后，该支点将处于其应有的位置。然后，每个子数组将进一步围绕枢轴进行划分，然后该枢轴将处于其正确位置。这样一直进行下去，直到得到长度为1的子数组，该数组被简单地排序了。

但是然后我们不假设P（k）满足所有k <n...。实际上我们正在展示它（因为Partition子例程将始终将一个元素置于其合法位置。）我们不是假设P （k）持有所有k

我们确实假设对于所有。这是您熟悉的“从证明 ”样式的概括。$P(k)$$k < n$$P(n-1)$$P(n)$

您描述的证明被称为强数学归纳原理，其形式为

假设是上定义的谓词。如果我们能证明这一点$P(n)$$n\in \{1, 2, \dotsc\}$

1. $P(1)$为真，并且

2. $(\forall k < n \;[P(k)])\Longrightarrow P(n)$

那么对于所有整数为真。$P(n)$$n\ge 1$

在您引用的证明中，这就是正在发生的事情。为了使用quicksort对大小为的数组进行排序，我们将其划分为三部分：第一个子数组，pivot（将位于其正确位置）以及大小为的其余子数组。通过分区的工作方式，第一个子数组中的每个元素将小于或等于枢轴，而另一个子数组中的每个元素将大于或等于枢轴，因此，当我们对第一个和最后一个子数组进行递归排序时，将对整个数组进行排序将结束。$n$$k$$n-k-1$

我们通过强归纳法证明这是正确的：由于第一个子数组具有元素，因此我们可以通过归纳法假定它将被正确排序。由于第二个子数组具有元素，因此我们可以假定它将被正确排序。因此，将所有部分放在一起，我们将对数组进行排序。$k<n$$n-k-1<n$

该证明使用完全归纳的原理：

假设：

• 基本情况：$P(1)$
• 步骤：对于每个，如果成立（归纳假设），则也成立。$n > 1$$P(1),\ldots,P(n-1)$$P(n)$

然后对于所有。$P(n)$$n \geq 1$

可以通过考虑属性使用通常的感应原理证明这个原理 我留下细节。

$$Q(m) \Leftrightarrow P(1) \text{ and } P(2) \text{ and } \cdots \text{ and } P(m)$$

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现在，让我们使用完整的归纳法来证明以下版本的Quicksort正确地对其输入进行了排序：

Quicksort(A, n)
    if n = 1 then:
        return
    else:
        let X[1...x] consist of all elements of A[2],...,A[n] which are at most A[1]
        let Y[1...y] consist of all elements of A[2],...,A[n] which are larger than A[1]
        call Quicksort(X, x)
        call Quicksort(Y, y)
        set A to the concatenation of X, A[1], Y

这A[1],...,A[n]是输入数组，n是它的长度。我们要证明的语句如下：

设为长度为的数组。用调用Quicksort后，表示的内容。然后：$A$$n \geq 1$$A$$B$

1. 快速排序终止于。$A$
2. 排列为使得。$\pi_1,\ldots,\pi_n$$1,\ldots,n$$B[i] = A[\pi_i]$
3. $B[1] \leq B[2] \leq \cdots \leq B[n]$。

我只会证明第三个属性，其余的留给您。因此，我们使为以下语句：$P(n)$

如果是长度为的数组，并且是运行后的内容，则。$A$$n \geq 1$$B$Quicksort(A, n)$B[1] \leq B[2] \leq \cdots \leq B[n]$

通过对的完全归纳来证明。如果那么没有任何证据可以证明，因此。令与程序中一样。由于，归纳假设表明 此外，从我们形成数组和的方式出发，可以得出。因此， 立即得出。因此，成立。$n$$n = 1$$n > 1$$X,x,Y,y$Quicksort$x,y < n$

$$X[1] \leq X[2] \leq \cdots \leq X[x] \\ Y[1] \leq Y[2] \leq \cdots \leq Y[y]$$ $X$$Y$$X[x] \leq A[1] < Y[1]$ $$X[1] \leq \cdots \leq X[x] \leq A[1] < Y[1] \leq \cdots \leq Y[y].$$ P （Ñ $B[1] \leq \cdots \leq B[n]$$P(n)$

参数的缺失部分是'<'的传递性 -即如果a <b和b <c，则a <c的属性。最终数组已排序的证明是这样的：

令A [i]，A [j]为数组后排序的元素，其中i <j。然后，A [i] <A [j]来自以下放置情况之一（并且没有其他情况）：

（a）i和j在第一个分区中-A [i] <A [j]之后是递归/归纳。

（b）i和j在第二个分区中-A [i] <A [j]之后是递归/归纳。

（c）i在第一个分区中，并且j是枢轴的索引-通过分区过程的证明遵循A [i] <A [j]。

（c）i是枢轴的索引，j在第二个分区中-A [i] <A [j]遵循分区过程的证明。

（e）i在第一分区中，j在第二分区中-然后通过分区过程，A [i] <枢轴，而枢轴<A [j]。因此，根据传递性，A [i] <A [j]。