减少最大流量以二分法匹配？

从最大二分匹配问题到最大流问题有一个著名而优雅的减少：我们为每个要匹配的项创建一个具有源节点，终端节点和一个节点的网络，然后添加适当的边。$s$$t$

当然，有一种方法可以将多项式时间内的最大流量减少到最大二分匹配，因为这两个函数都可以分别在多项式时间内求解。但是，从最大流量（在一般图中）到最大二分匹配是否有“精妙”的多项式时间减少？

奇怪的是，尚无这样的减少方法。但是，在最近的一篇论文中，Madry（FOCS 2013）展示了如何将单位容量图中的最大流量减少为二部图中最大匹配（对数个实例）。$b$

如果您不熟悉最大匹配问题，则这是匹配的一般化，定义如下：输入是一个图（在我们的例子中为二部图），和a每个顶点的一组积分需求，顶点的需求用表示。我们的目标是要找到一个尽可能大的边集使得没有顶点已经超过在边缘入射。概括从二部匹配到最大流量的减少，并显示出二部的类似减少，这是一个简单的练习。$b$$G=(V,E)$$v$$b_v$$S$$v$$b_v$$S$$v$$b$-匹配最大流量。Madry论文的令人惊讶的结果之一是，从某种意义上讲，这些问题是等效的，给出一个简单的折减法，从而减少了单位容量图（通常是容量总和图）中的最大流量。在具有节点，顶点和需求总和的图中，边的数目到匹配问题是线性的。$|u|_1$$m$$b$$O(m)$

如果您对细节感兴趣，请在此处参阅ArXiv版本的Madry论文的第3节，直至定理3.1和第4节（以及附录C中的正确性证明）。如果术语不言自明，请参阅第2.5节中有关匹配问题的概述，并记住是原始最大流实例中边缘的容量。$b$$u_e$$e$

因此，可以尝试回答您的问题：

关于二分匹配的Konig定理得到了证明，因此使用最大流最小割定理进行了简化。柯尼希定理规定如下。如果G是二部图，则max {| M | ：M是匹配的} = min {| C | ：C是封面}。证明。max {| M |}≤{| C |}的部分很小。设P和Q是G的bipartition类我们增加了两个顶点，R和S对G，和圆弧RP每一个每一个和QS距离，并直接边缘PQ来。这是一个有向图。我们定义容量u（rp）= 1，u（pq）=，u（qs）=1。设x为可行的积分流x，则x（e）= 0或1，因此我们可以定义M = {：x（e）= 1}。M与| M |匹配 =q ∈ Q p ∈ P q ∈ Q G ^ * ∞ Ë ∈ Ë ˚F X ģ * ˚F X p q ∈ 中号ģ * ∪ （Q ∩ [R ）| Q ∩ [R $p\in P$$q \in Q$$p\in P$$q\in Q$$G_{∗}$$\infty$$e \in E$$f_{x}$。接下来，G中的匹配M在流量值 = | M | 的情况下在产生可行的积分流量x。如下。如果，则定义x（pq）= 1 ；如果p入射到M的边缘，则x（rp）= 1；如果q入射到M的边缘，则x（qs）= 1；在所有其他情况下，x （e）=0。因此，与G中的M匹配的最大大小对应于的最大流，其最大大小等于最大流最小剪切定理的最小剪切大小。考虑最小的rs切割δ（R）。它具有有限的容量，因此不包含弧pq。然后，G的每个边沿都入射一个C =（P \ R）的元素，即C是一个封面。而且，u（C）= | P \ R | +因此C是大小| M |的封面。$G_{∗}$$f_{x}$$pq \in M$$G_{∗}$$\cup (Q \cap R)$$|Q \cap R|$

我的意思是，这就是您在问题中问到的所有内容，这是我可能的答案：）。