对数与双对数时间复杂度

在实际应用中，使用而不是O（log （n ））算法有具体的好处吗？$\mathcal{O}(\log(\log(n))$$\mathcal{O}(\log(n))$

当使用例如van Emde Boas树而不是更常规的二进制搜索树实现时就是这种情况。但是例如，如果我们取那么在最佳情况下，双对数算法的对数性能比对数算法高（大约为5）。而且一般来说，实现起来更加棘手和复杂。$n < 10^6$$5$

考虑到我个人比VEB树更喜欢BST，您怎么看？

一个人可以很容易地证明：

$\qquad \displaystyle \forall n < 10^6.\ \frac{\log n}{\log(\log(n))} < 5.26146$

$\log n$$\log(n)$$\log(\log n)$

$\log(n)$$\log(\log(n))$

^{[ 来源 ]}

$100000$$c\cdot \log(n)$$d\cdot \log(\log(n))$$c,d$

$n$

^{[ 来源 ]}

现在，如果那不值得，那我就不知道了。

可以想象，复杂性的差异实际上并不重要，而实际的运行时间更为重要。但是，如果该算法是另一种算法的核心，那么这种差异可能很重要。

从纯粹的理论目的来看，差异当然很重要，尤其是如果该算法是另一算法的一部分。可能会将较大的算法放在不同的复杂度类别中。

实际上，我自己曾经对van Emde-Boas树进行了基准测试。我将其与AA树，哈希图和位数组进行了比较。

测试size将在间隔中执行随机插入[0, bound]，然后size搜索，然后size删除，然后再次size搜索。删除操作也会对随机数进行，因此您首先必须确定它们是否完全在结构中。

以下是以秒为单位的结果（size= 2000000，bound= 10000000）：

AATreeLookup - O(n log n)
Inserting... 3.3652452
Searching... 5.2280724
Deleting...  7.3457427
Searching... 9.1462039
HashLookup - O(n) expected
Inserting... 0.3369505
Searching... 0.6223035
Deleting...  0.9062163
Searching... 1.1718223
VanEmdeBoasTree - O(n log log n)
Inserting... 0.7007531
Searching... 1.1775800
Deleting...  1.7257065
Searching... 2.2147703
ArrayLookup - O(n)
Inserting... 0.0681897
Searching... 0.1720300
Deleting...  0.2387776
Searching... 0.3413800

如您所见，van Emde-Boas树的速度大约是哈希图的两倍，是位数组的十倍，是二进制搜索树的五倍。

当然，上面的内容需要免责声明：测试是人为的，您可以改进代码或将其他语言与输出速度更快的编译器一起使用，等等。

此免责声明是我们在算法设计中使用渐近分析的原因的核心：由于您不知道常量是什么，并且常量可能根据环境因素而变化，因此我们能做的最好的就是渐进分析。

$\log n$$\log \log n$$2^{32}$$\log 2^{32} = 32$$\log 32 = 5$