图灵机“按定义”是功能最强大的机器吗？

我同意图灵机可以解决“所有可能的数学问题”。但这是因为它只是算法的机器表示：首先执行此操作，然后执行该操作，最后输出该算法。

我的意思是，任何可以解决的问题都可以用算法来表示（因为这正是“可解决”的定义）。这只是一个重言式。我在这里没说新话。

通过创建算法的机器表示，它也将解决所有可能的问题也不是什么新鲜事。这也仅仅是重言式。因此，当说图灵机是最强大的机器时，实际上，这实际上意味着最强大的机器是最强大的机器！

“最强大”的定义：可以接受任何语言的语言。
“算法”的定义：做任何事情的过程。“算法”的机器表示：一台可以做任何事情的机器。

因此，合乎逻辑的是算法的机器表示将成为功能最强大的机器。艾伦·图灵给我们带来了什么新东西？

我同意图灵机可以解决“所有可能的数学问题”。

好吧，你不应该，因为那不是真的。例如，图灵机无法确定具有整数系数的多项式是否具有整数解（希尔伯特第十个问题）。

图灵机“按定义”是功能最强大的机器吗？

不，我们可以梦想出功能更强大的机器的无限层次。但是，图灵机至少在原理上是我们知道的最强大的机器。不过，这还不是一个定义：只是表明我们不知道如何构建更强大的功能，甚至可能的话。

艾伦·图灵给我们带来了什么新东西？

算法的正式定义。没有这样的定义（例如，图灵机），我们只能按照“解决问题的有限指定过程”的思路对算法进行非正式定义。好，很好。但是，这些程序允许采取哪些单独的步骤？

是基本的算术运算步骤吗？寻找曲线的坡​​度是一个步骤吗？寻找多项式的根是否一步之遥？寻找多项式的整数根是一步吗？这些似乎都是自然的。但是，如果允许它们全部使用，则“有限指定的过程”比图灵机更强大，这意味着它们可以解决算法无法解决的问题。如果允许除最后一个以外的所有内容，那么您仍然在Turing计算领域内。

如果没有正式的算法定义，我们甚至都不会问这些问题。我们将无法讨论算法可以做什么，因为我们不知道算法是什么。

当您反复对此或只是“重言式”作出陈述时，您是不正确的。因此，请允许我将您的主张放到历史背景中。

首先，您需要使使用的概念更精确。怎么了 什么是算法？什么是机器？您可能会认为这些是显而易见的，但是1920年代和1930年代的大部分时间是由逻辑学家用来弄清楚这些事情的。有几项建议，其中一项是最成功的图灵机。后来发现，其他建议等同于图灵机。您必须想象一个时代，“计算机”一词代表一个人，而不是一台机器。您只是在一百年前就乘着辉煌的头脑乘风破浪，进行了辉煌发明的后果，却没有意识到这一点。

图灵机根据状态，磁头和工作带具体描述。远非显而易见的是，这耗尽了我们所生活的宇宙的计算能力。我们能否利用电，水或量子现象制造出功能更强大的机器？如果我们将图灵机以正确的速度和方向飞入黑洞，以便在有限的时间内执行无限多的步骤，该怎么办？您不能只说“显然不是” –您需要首先在广义相对论中进行一些计算。如果物理学家找到一种通信和控制并行宇宙的方法，以便我们可以并行运行无限多的图灵机，那该怎么办？

它并没有关系，目前我们不能做这些事情。但是，重要的是您了解Turing 必须考虑物理上可能发生的事情（基于当时的物理知识）。他不只是写下“纯粹的重言式”。远非如此，他仔细地分析了非正式意义上的计算含义，然后他提出了一个正式模型，非常仔细地论证了该模型捕获了人们对“计算”的理解，并且得出了一些重要的定理。这些定理之一说，图灵机不能解决所有数学问题（与您的错误陈述之一相反）。所有这些都写在一篇纸上，写在他暑假期间。是现代通用计算机概念的发明。在那之后，这只是一个简单的工程问题。

这是否能回答图灵仅凭重言而对人类做出的贡献？你真的读过他的论文吗？

“任何可以通过算法表示的可解事物”都不是很明显。

这一直是激烈辩论的对象，因为对Alonzo Church进行改造的Alan Turing提出了可计算数字的定义，并采用了您所指的机器形式。重要的是，当时这些人并不是唯一从事此类工作的人。

我们仍然称其为论点或猜想，因为“任何可以计算的东西”显然都不是精确的数学对象，其结构和范围可以用非推测性的方式进行研究。

首先，重要的是要记住，图灵机最初是由图灵设计的，并不是作为任何类型的可物理实现的计算机的模型，而是对人类在逐步的机械计算中可计算的东西的理想限制方式（不使用任何直觉）。这一点被广泛误解了-有关此主题和相关主题的出色论述，请参见[1]。

图灵为其图灵机所假设的有限性限制是基于人类感官设备的所假设的限制。由于罗宾·甘迪（Robin Gandy）的出现，基于物理定律的局限性，直到很久以后（1980年），图灵的分析才得以推广到可物理实现的计算设备（以及类似的丘奇-图灵论文）。如Odifreddi在p中所述。[2]的51（古典递归理论的圣经）

图灵机是理论上的设备，但设计时考虑了物理限制。特别是，我们在模型限制中纳入了以下方面的限制：

• （a）通过确保在机器的任何配置（作为有限的系统）中可以编码的信息量有界，来进行原子主义；和

• （b）相对性，通过排除远距离的行动，并使因果效应通过局部相互作用传播。Gandy [1980]已经表明，图灵机的概念足够笼统，可以精确地包含任何满足类似限制的计算设备。

并在第 107 ：（离散的确定性设备的一般理论）

分析（Church [1957]，Kolmogorov和Uspenskii [1958]，Gandy [1980]）从原子论和相对论的假设开始。前者将物质的结构简化为有限尺寸的有限大小的基本粒子集，因此证明了将机器分解为一组基本成分的理论可能性。后者对因果变化的传播速度施加了上限（光速），因此证明了将在瞬间t对空间V的有界区域产生的因果效应减小到该区域产生的作用的理论可能性当然，这些假设并未考虑连续的系统或允许无限制的远距离作用的系统（如牛顿引力系统）。

甘迪（Gandy）的分析表明，对于具有固定可能配置复杂性的任何设备，该行为都是递归的（从概念上讲，构成要素的层次以及构成要素的任何结构化部分中构件的数量任何配置，都是有界的），并且是固定的，确定的，针对局部和全局作用的确定性指令集（前者讲述如何确定作用对结构化零件的影响，后者讲述如何组合局部作用）。此外，在进行精确分析时，条件的任何放松都可以与任何行为兼容，因此该分析是最佳的，因此可以提供对递归行为的充分且必要的描述。

Gandy的分析对图灵机的功能和局限性给出了非常具有启发性的观点。值得一读，以进一步了解这些问题。但是要事先警告，即使有一些认识者，甘迪（Gandy）在1980年发表的论文[3]也被认为是困难的。您可能会发现先仔细阅读J. Shepherdson和A. Makowsky在[4]中的论文会有所帮助。

[1]齐格，威尔弗里德。机械程序和数学经验。[第71--117页，数学和思维。1991年4月5日至7日在马萨诸塞州阿默斯特的阿默斯特学院举行的数学哲学会议上的论文。亚历山大·乔治（Alexander George）编辑。逻辑计算。牛津大学Philos。出版社，纽约，1994年。ISBN：0-19-507929-9 MR 96m：00006（审阅者：Stewart Shapiro）00A30（01A60 03A05 03D20）

[2] Odifreddi，皮尔吉奥乔。古典递归理论。 函数理论和自然数集。带有GE Sacks的前言。逻辑和数学基础研究，125。北荷兰出版公司，阿姆斯特丹，纽约，1989年。xviii + 668 pp。ISBN：0-444-87295-7 MR 90d：03072（审阅者：Rodney G. Downey） ）03Dxx（03-02 03E15 03E45 03F30 68Q05）

[3]甘迪，罗宾。教会的论点和机制原理。 克莱恩研讨会。该研讨会论文集于1978年6月18日至24日在威斯康星州麦迪逊市的威斯康星大学举行。逻辑和数学基础研究，101.北荷兰出版公司，阿姆斯特丹，纽约，1980年。xx + 425页，ISBN：0-444-85345-6 MR 82h：03036（审阅者：Douglas Cenzer）03D10 （03A05）

[4] 通用图灵机：半个世纪的调查。第二版。 Rolf Herken编辑。Computerkultur [计算机文化]，II。Springer-Verlag，维也纳，1995年。xvi+ 611页，ISBN：3-211-82637-8 MR 96j：03005 03-06（01A60 03D10 03D15 68-06）

我读过的关于该问题的最受欢迎的讨论是麻省理工学院教授斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）的论文《谁可以命名更大的数字？，他在其中探讨了超级图灵机，超级杜珀尔图灵机和超级杜珀－珀珀图灵机的意义。

不，TM不是最强大的。两个例子：

a）可能会有其他机器计算出与TM相同的结果，但是在算法上更快（例如，量子计算机计算素因数）。“更快”是一种力量。

b）TM不能精确地表示一般实数。但是，模拟计算机（AC）可能能够以理想的精度表示实数并执行算术运算。这将比任何TM都强大。

当然（b）要求我们的宇宙具有一些连续的属性（重力？），AC可以使用它们来表示实数值。也许每个物理性质，包括重力，都被量化了。但是我们可以推测连续宇宙中的机器。因此，按定义，TM并不是最强大的。

如果您看一下计算的复杂性，图灵机是功能最强大的机器-因为它具有无限的内存，而没有真正的机器拥有。任何真实的机器都无法解决任意大小的问题；他们甚至无法读懂问题，更不用说解决问题了。

另一方面，如果您尝试实现一台真正的图灵机，则可以假设它停止运行并在磁带用完时发出警报，您会发现执行任何类型的计算将需要更多步骤比起廉价手机中的真实机器，解决实际问题要慢得多。您还会发现在磁带上写答案不是一个很好的用户界面。而且您会发现，很多人使用计算机并不是为了解决问题，而是为了向他们的朋友发送裸照并观看猫的视频，而图灵机根本没有用。