如果一元语言的指数是线性函数，它是否是正规语言？

在为我的正式语言和自动机课程做当前的工作时，我有点陷入涉及一元语言（我希望这是正确的术语）的练习，即基于单个字母的语言。不过，我不想询问具体的练习，而是想出一个更笼统的猜想：

令和。我的猜想是：$\Sigma=\{a\}$$L=\{a^{f(n)}\in\Sigma^*:n\in\mathbb N_0\}$

这个问题以前见过科学的治疗方法吗？是“明显”正确/错误吗？

对我来说，显然是“，因为人们可以只建立一个DFA与”方向为真的状态，通过所述循环的状态后通过具有读状态和接受当且仅当在状态数。$\Leftarrow$$x+y$$x$$y$$y$

线性接近，但您要寻找的技术术语是半线性：，即线性集合的有限并集。

证明这一点的一半是Parikh定理的推论，该定理指出，任何上下文无关的语言都具有半线性的Parikh映射（即，向量集，其中包含字母表中每个字母的出现）。

对于一元语言，该语言的缩写图是该语言本身（即，每个单词由其具有的几个字母唯一标识），因此每种一元常规语言都是半线性的。

证明的另一半表明，您可以构造包含每个一元半线性集的常规语言。这需要一些工作，但是如果您使用正则表达式并不难：

• $a^k$识别语言$\{ k \}$
• $(a^k)^*$识别$\{xk \mid x \in \mathbb{N}_0 \}$
• $R_1 R_2$如果识别且识别，则识别，其中这里是逐元素加法$S_1 + S_2$$R_1$$S_1$$R_2$$S_2$$+$
• $R_1 | R_2$如果识别并且识别，则识别这是正则表达式联盟。$S_1 \cup S_2$$R_1$$S_1$$R_2$$S_2$$|$

你几乎是正确的。您需要考虑以下事实：您可能具有多个线性函数，例如 或者您可能拥有有限的语言，例如 （在两种情况下，我们只是采用常规语言的并集，因此一切正常。）