加法的时间复杂度

维基百科将加法的时间复杂度列为，其中是位数。 $n$ $n$

这是严格的理论下限吗？还是这仅仅是当前最快的已知算法的复杂性。我想知道，因为加法的复杂性强调了所有其他算术运算和使用它们的所有算法。

从理论上讲不可能获得在中运行的加法算法？还是我们必须将线性复杂度相加。 $o(n)$

algorithms algorithm-analysis arithmetic

Answers:

如果您的算法渐近使用的时间少于次，则它没有足够的时间来读取它所添加的数字的所有数字。您会想象您正在处理非常大的数字（例如存储在8MB的文本文件中）。当然，与数字的值相比，加法可以非常快速地完成；如果是总和的值，它将以时间运行。 $n$ $\mathcal{O}(\log(N))$ $N$

这并不意味着您可以加快速度。如果处理器每个操作处理32位，则使用次，但这仍然是而不是。 $\frac{n}{32}$ $\mathcal{O}(n)$ $o(n)$

— 列维·温克惠真
source

从理论上来说正在读取所有数据。对于加入任何两个数的

和

。通过移位可以在

操作中完成计算

。附加

。考虑一下。可能您找不到更快的总和估算值，请对该估算值进行调整，直到正确为止。在少于

操作中？

a

$a$

b, a : a \geq b, a + b \leq 2 a

$b, a: a \ge b, a + b \le 2a$

2 a

$2a$

O (1)

$O(1)$

0

$0$

n

$n$

— Tobi Alafin '16

是的，这在理论上是必要的，因为：输入的每一位在输出中都被平凡地使用，其中非平凡的意思是它不是恒等函数。在您的

示例中，是否可以在

时间内计算

取决于计算模型：如果附加

是恒定时间操作，则为是。如果你有内存访问，你需要

的时间来写位的地址，如果你已经知道的长度

或

2 a

$2a$

2 a

$2a$

O (1)

$O(1)$

0

$0$

O (\log (n))

$O(\log(n))$

a

$a$

O (n)

$O(n)$ 时间，如果您必须阅读所有内容

进行查找。在该

例子，许多输出位输入比特的琐碎功能。

a

$a$

2 a

$2a$

— Lieuwe Vinkhuijzen

我有发现的长度的算法

在

。它使用二进制搜索。

a

$a$

O (\log n)

$O(\log n)$

— 托比·阿拉芬

@TobiAlafin如果您的模型支持RAM寻址，那么二进制搜索将以

步骤运行，正确。在Turing Machine上以及未加载到主存储器中的文本文件中，这需要

时间。无论哪种情况，要回答您的问题，无论是否使用RAM寻址来加快查找速度，您的算法都必须查看输入的所有位以计算

。假设它没有，并且在输入

位时，它不检查第

位。然后我可以翻转一下，这将给出错误的答案。

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

a + b

$a+b$

42

$42$

6

$6$

— Lieuwe Vinkhuijzen

因此，基本上所有运算都为

。唯一的例外是，如果您正在处理某种有序的数据结构：例如，您不必访问整个BST来检查它是否包含某个值，但这是正确的，仅因为BST附带了不变性。

Ω (n)

$\Omega(n)$

— 巴库里

为了使复杂度分析完全没有任何形式上的意义，您必须指定一个正式的计算模型，在该模型中执行对象中的算法，或者至少指定一个成本模型，该模型指定什么是基本操作，以及他们的费用。

在大多数情况下，假定算术运算需要时间。这通常是合理的，因为我们对算法复杂性感兴趣，而与涉及的数量无关。这称为统一成本模型。 $\Theta(1)$

如果数字可以无限增长，或者我们有兴趣分析这些运算本身，则算术运算的成本与输入的大小成比例。 $\Theta(|x|)$

现在，运营成本可以低于吗？但是，可能必须正式定义一个可以在其中发生的计算模型。

— 快速排序
source

作为另一个示例，进位超前加法器在适当的简化假设下花费

时间来计算两个

位数字的总和。

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$

n

$n$

— Fabio Somenzi

加法的输入是两个任意数字。由于它们是任意的，因此您必须读取每个位，因此算法为。 $\Omega(n)$

想象一下，您的算法成功地添加了1010100110和0010010110而不读取每个位。为了使您的算法能够添加任意输入，我应该能够随机翻转这些位中的任意一位，并且该算法仍会输出正确（但不同）的加法。但是，如果您的算法没有读完每一位，那么如何判断翻转后的输入与原始输入有什么不同呢？

— 误码率
source

n

$n$

绝对。您只需要定义算法中“近似”的含义即可。根据该定义，将两个最高有效位相加可以是一个近似和，可以在o（n）时间内完成。当您提到“加法”算法时，我认为我们所有人都认为答案必须准确。

— murrdpirate 2013年