仅使用O（k）内存O（n）时间从给定序列中找到第k个最小元素

假设我们逐个读取数字的序列。如何仅使用单元存储器并在线性时间（）中找到第个最小元素。我认为我们应该保存序列的前项，并在获得第个项时删除一个确定不能为第个最小元素的项，然后保存第个项。因此，我们应该有一个指标，在每个步骤中显示此不可用的术语，并且该指标应在每个步骤中快速更新。我从“ max”开始；但它无法快速更新；意味着如果我们考虑最大 $n$ $k$ $O(k)$ $O(n)$ $k$ $k+1$ $k$ $k+1$ 然后在第一次删除中，我们错过了最大值，我们应该在搜索最大值，其原因时间不是线性的。也许我们应该更智能地保存前项。 $O(k)$ $(n-k)\times O(k)$ $k$

我该如何解决这个问题？

data-structures search-algorithms quicksort

— Shahab_HK
source

您是否对在线算法感兴趣，或者任何算法都可以？

— Yuval Filmus

如果

k = θ (n)

$k = \theta(n)$ 则可以使用阶数统计算法来实现。如果

k = o (n)

$k = o(n)$ 则可以使用任何高度平衡的树来执行

O (k)

$O(k)$ 内存和

O (n \log k)

$O(n\log k)$ 时间。

— Shreesh

这就是选择问题en.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm

— xavierm02 '17

有线性时间就地算法，您可以在Google上搜索，但是它们有些复杂。

— Yuval Filmus

@ xavierm02不是完全相同的选择问题。因为存在内存限制约束。

— Shahab_HK

Answers:

创建大小为的缓冲区。从数组中读取元素。使用线性时间选择算法对缓冲区进行分区，以使最小的元素排在最前面；这需要时间。现在，将数组中的另外项目读入缓冲区，替换缓冲区中最大的项目，像以前一样对缓冲区进行分区，然后重复。 $2k$ $2k$ $k$ $O(k)$ $k$ $k$

这需要时间和空间。 $O(k * n/k) = O(n)$ $O(k)$

— jbapple
source

+1，适合要求的渐近性。话虽如此，但我不认为这比执行单个线性时间选择算法要快...除了

很小时，它提供了一个有趣的视角。例如，对于

此算法将产生函数。

k

$k$

k = 1

$k = 1$ min

— orlp

有时，线性时间选择算法会占用太多空间。例如，它不适用于流上下文或输入数组是不可变的。

— jbapple

这些是有效点。

— Orlp

您可以在内存和时间中做到这一点，方法是从时间中的前元素形成固定大小的最大堆，然后遍历数组的其余部分并推入新的元素，然后为每个元素弹出，得到总时间 = 。 $O(k)$ $O(n \log k)$ $k$ $O(k)$ $O(\log k)$ $O(k + n\log k)$ $O(n \log k)$

通过使用中位数中值选择算法，在选择并返回前元素，可以在辅助存储器和时间中进行操作。在不改变渐近性的情况下，您可以使用introselect加快平均情况。这是解决问题的规范方法。 $O(\log n)$ $O(n)$ $k$ $k$

现在从技术上讲和是无法比拟的。但是我认为在实践中更好，因为考虑到没有计算机系统具有超过个字节的内存，，它实际上是恒定的。同时，可以增长到与一样大。 $O(\log n)$ $O(k)$ $O(\log n)$ $2^{64}$ $\log 2^{64}= 64$ $k$ $n$

— 奥尔普
source

请注意，可以通过在有趣的时候反转堆使用的顺序，将基于堆的算法的复杂度提高到

。

O (n \times \log min (k, n - k))

$O(n \times \log\min (k, n - k))$

— xavierm02'1

@ xavierm02

。证明：

的最坏情况是

。

的最坏情况是

O (m i n (k, n - k))

$O(min(k, n-k))$

O (k)

$O(k)$

k

$k$

n

$n$

m i n (k, n - k)

$min(k, n-k)$

。它们是一个常数因子内的相同，从而

。

\frac{n}{2}

$n \over 2$

O (m i n (k, n - k))

$O(min(k, n-k))$

O (k)

$O(k)$

— Orlp

@ xavierm02话虽如此，它仍然是一个不错的

— 加速器

是

但不是

。假设是。再有就是一些

和一些

，使得对于每个

，我们有

，这显然是错误的（因为我们可以采取

u_{n, k} = k

$u_{n,k}=k$

O (k)

$O(k)$

O (min (k, n - k))

$O(\min (k, n-k))$

C

$C$

M

$M$

M \leq k \leq n

$M\le k\le n$

k \leq C (n - k)

$k\le C (n-k)$

n = k \to + \infty) .

$n=k \to +\infty).$ 所以

。

O (min (k, n - k)) ⊊ O (k)

$O(\min(k, n-k))\subsetneq O(k)$

— xavierm02 '01 / 01/17

@ xavierm02我不熟悉你的

符号。公平地讲，我通常不太熟悉多维big-

表示法，尤其是考虑到

并非无关紧要。

u_{n, k}

$u_{n, k}$

O

$O$

n, k

$n, k$

— orlp