为什么DFS被认为具有空间复杂度？

根据这些说明，DFS被认为具有空间复杂度，其中是树的分支因子，是状态空间中任何路径的最大长度。 $O(bm)$ $b$ $m$

现在，有关DFS的Wikipedia文章的“信息框” 针对算法的空间复杂性提供了以下内容：

$O(|V|)$ ，如果遍历整个图而没有重复，则最长路径搜索长度为隐式图，而不会消除重复的节点 $O($ $)$

这更类似于我认为DFS的空间复杂度，即，其中是算法达到的最大长度。 $O(m)$ $m$

我为什么认为是这种情况？

好吧，基本上，我们不需要存储除当前正在查看的路径的节点以外的任何其他节点，因此在Wikibook和我推荐给您的注释提供的分析中，没有必要乘以至。 $b$

此外，根据Richard Korf 在IDA *上发表的这篇论文，DFS的空间复杂度为，其中被视为“深度截止”。 $O(d)$ $d$

那么，DFS的正确空间复杂度是多少？

我认为这可能取决于实现方式，因此，我希望能对不同已知实现方式的空间复杂性做出解释。

graphs algorithm-analysis graph-traversal space-analysis

— 恩布罗
source

DFS is considered to […] of the tree并不是每个遍历深度的图形都是一棵树。

— greybeard

说“这里的DFS实现成本为X”和“可以实现DFS成本为X”之间是有区别的。因此，似乎在争论第二种不同的陈述，这些陈述根本不需要矛盾。（请注意，因为根本就没有矛盾，如果意味着什么也没有。）

O (b m) \supset O (m)

$O(bm) \supset O(m)$

O (b m)

$O(bm)$

— 拉斐尔

@greybeard您能告诉我一个示例，其中在图形上进行深度优先遍历不会生成树吗？

— nbro

example where a depth-first traversal on a graph would not result in a tree无需过多考虑：解析。（等待：您的意思是result in a tree什么？？问题是关于搜索/遍历图的。）

— greybeard

@greybeard根据到目前为止找到的所有定义。在重新定义节点的位置找到一个定义，然后我们可以进行讨论。

— nbro

Answers:

这取决于您究竟叫什么DFS。例如，考虑一下Wikipedia中描述的DFS迭代算法，并假设您在树上运行它，这样就不必跟踪已访问的节点。假设你在一个完整的运行的深度进制树。我们可以用最大[个长度超过的单词来识别树中的节点。该算法的操作如下： $b$ $m$ $[b]$ $m$

此时，堆栈包含

{1个}^{米} ， {1个}^{米 - 1个} 2 ， \dots ， {1个}^{米 - 1个} b ， \dots ， 112 ， \dots ， 11 b ， 12 ， \dots ， 1个 b ， 2 ， \dots ， b ，

$1^m,1^{m-1}2,\ldots,1^{m-1}b,\ldots,112,\ldots,11b,12,\ldots,1b,2,\ldots,b,$

总共节点。您可以检查一下这是否是使堆栈大小最大化的时间点。 $(b-1)m + 1$

— Yuval Filmus
source

一品脱的时间使医生远离。

— greybeard

这里有两点要说明：

如果将当前节点的所有后代引入堆栈，则有效地，空间复杂度为，其中是分支因子，是最大长度。Yuval Filmus的答复确实涉及此案。但是，请注意，通常远大于。此外，在许多领域中，例如滑动块拼图，由一个常量（在特定情况下为4）限制，因此我们可以肯定地说DFS的空间复杂度为。 $O(bd)$ $b$ $d$ $d$ $b$ $b$ $O(d)$
诚然，事实并非总是如此。例如，在“煎饼难题”中，分支因子随最佳解的长度而增长，并且两者都具有相似的值。尽管如此，空间复杂度仍为。要看到这一点，只需调整任何节点的扩展过程即可：而不是插入当前节点的所有后代（如Yuval Filmus所建议），依次插入它们。你先产生第一传人和后立即您在深度优先顺序进行操作---因为事实上，你并不需要在这一点上所有其他后代 $O(d)$ 。如果您曾经回溯到该节点，则其后代将从堆栈中删除。接下来，生成第二个后代，并再次按深度优先顺序进行。如果您回溯到该节点，则生成第三个节点，依此类推，直到没有更多后代为止。以这种方式进行操作，无论分支因子是多少，堆栈中都将只有节点。 $d$ $b$

总而言之，我永远不会说DFS的空间复杂度为，我声称其空间复杂度为。 $O(bd)$ $O(d)$

希望这可以帮助，

— 卡洛斯·利纳雷斯·洛佩斯
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