k-clique问题NP是否完整？

在这本有关图论中的派系问题的维基百科文章中，它一开始就指出在图G中找到大小为K的派系的问题是NP完全的：

还对群体进行了计算机科学研究：发现图形中是否存在给定大小的群体（群体问题）是NP完全的，但是尽管有这种硬度结果，但仍研究了许多用于寻找群体的算法。

但是在另一篇有关CS中的集团问题的 Wikipedia文章中，它说它正在解决固定大小的问题k是P中的问题，它可以在多项式时间内强行使用。

蛮力算法来检验图G是否包含k顶点集团，并找到它包含的任何此类集团，就是检查每个子图至少具有k个顶点，并检查其是否形成集团。该算法花费时间O（n ^ kk ^ 2）：要检查O（n ^ k）个子图，每个子图都有O（k ^ 2）个边，需要检查其在G中的存在。因此，只要k为固定常数，就可以在多项式时间内解决该问题。但是，如果k是问题输入的一部分，则时间是指数的。

我在这里缺少什么吗？问题的措词可能有所不同？最后一句话是什么意思：“但是，当k是问题输入的一部分时，时间是指数的。” 当k是问题输入的一部分时，为什么会有差异？

我的想法是要在图G中找到大小为k的集团，就是我们首先从G中选择节点的大小为k的子集，然后测试它们是否都与其他k个节点相关，这可以以常数完成时间。重复此步骤，直到我们得到大小为k的小集团。我们可以从G中选择的k个节点的集合数为n！/ k！*（nk）!。

— 拉斐尔
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问题的NP完整性取决于您认为什么作为输入。因为问题在于

如果有多项式算法可以决定问题。如果

是一个常数（不是输入），则该算法是

多项式。如果

是输入的一部分，则该算法在

是指数的。

P

$\mathcal{P}$

K

$K$

n

$n$

k

$k$

k

$k$

只需详细说明@Lamine指出的内容：当是输入的一部分时，可以等于 $k$ $k$ ，在这种情况下，潜在集团的数量为 $\frac{n}{2}$ 至少 $\binom{n}{\frac{n}{2}}$ 。因此，您的幼稚算法将花费 $\left( \frac{n}{\frac{n}{2}} \right)^{\frac{n}{2}}$ 在输入长度显然是指数的。我们在顶点图中寻找-cliques的参数化版本以最广义的形式捕获了问题的难度，因为是输入的一部分。因此，针对的多重时间算法也将暗示针对任何特定的多重时间算法。 $2^{\frac{n}{2}}$ $|x|+|k|=n+\log n$ $G(n,k)$ $k$ $n$ $k$ $G(n,k)$ $k$

— 沙金·科洛斯（Sajin Koroth）
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