说“渐近更有效”是什么意思？

当我们说算法渐近地比更有效时，这是什么意思？$X$$Y$

• $X$对于所有输入，将是更好的选择。
• $X$对于所有输入（小输入除外），都是更好的选择。
• $X$对于大型输入以外的所有输入，都是更好的选择。
• $Y$对于小输入，将是更好的选择。

这个问题的链接在这里。

http://quiz.geeksforgeeks.org/algorithms-analysis-of-algorithms-question-16/

我以为，一种渐近有效的算法应该适用于所有输入，但是我没有明白“它适用于除小输入以外的所有输入”的原因。

首先，两种算法都对所有输入“起作用”。问题在于性能。

这个问题的答案有点of脚。一种算法比另一种算法渐近有效的一种说法是，如果存在一些（特定于问题的）输入大小，以便对于任何较大的输入大小，更有效的算法通常会通过某种抽象措施来减少“计算步骤”，例如比较次数。

答案的想法是，渐近更有效的算法在输入大小之前可能仍需要更多步骤。它可以是渐近更高效的算法，需要对所有输入步骤较少的情况下，但它并不需要在实践中的情况下，通常是没有的。因此，“正确”答案的一个更好的措词是“ 对于所有输入（可能很小的输入除外），将是一个更好的选择”。$X$

措词仍然不是那么好。首先，还有更多因素会决定哪种算法是“更好的选择”，但我会告诉他们在这种情况下意图很明确。真正的问题是“小”和“大”。我最喜欢的论文之一是针对所有定义明确的问题的最快和最短算法。本文介绍了一种算法，该算法给出了函数的任何规格，并证明可以在多项式时间内进行计算，这将以倍加加项的最佳时间复杂度来计算该函数。例如，如果我为它提供了冒泡排序的实现作为功能说明，并简单证明它是$5$$O(n^2)$，它将产生一个排序算法。实际上，它会产生一个算法，是其中是的常数因子渐近^*最优算法。这真太了不起了。只有一个问题：常数项 –隐藏在$O(n\lg n)$$5cn\lg n + o(n\lg n)$$c$$o(n\lg n)$在此示例中，几乎对于任何实际问题，该算法几乎都是完全不可行的。我说“完全不可行”是什么意思？我的意思是，在该算法完成之前，宇宙的热死将发生多次。然而，对于适当的“大”输入，它将比气泡排序更快。我的观点是，几乎绝对不可能以任何方式写下“适当大”的输入，更不用说对其进行计算了。

无论如何，我如何说出正确的答案是：“ 在足够大的输入上，比所需的步数少”。这仍然有点含糊，因为可以应用多个“步骤”概念，并且一种度量可以渐近地通过一种度量来提高效率，而另一种度量则可以更低的效率。该措辞避免了“更好选择”的价值判断；当指定常量因素/条件（例如缓存效率或实现简单性）时，有许多理由选择渐近效率较低的算法，甚至选择效率较低的算法。$X$$Y$

^*这里有一个微妙之处。渐近最优算法可能比渐进非最优算法具有更差的常数。我认为对于任何渐近最优算法，它都将具有最佳的值，但是可以想像，为了逐渐提高渐近效率，可以增加大量复杂性，从而显着增加常数因子。$c$$c$

人们通常说的是这样的意思：

$T_A$$T_B$$A$$B$$T_A \in o(T_B)$

$X$

尤其是，即使人们经常建议第二个陈述也没有，但您提出的陈述都没有。

令人遗憾的是，为了简化起见，更广泛的算法处理人员群体使用了与虚无界接壤的术语。（很难给出关于算法的准确而有用的声明！）

您可能对我们的参考问题感兴趣。

如果在所有输入大小n都大于值n0的情况下（如果n0> 0），X花费的时间比y短，则算法X的渐近性优于Y。

$T_A(n) = n+1$$T_B(n) = n$

我建议您从CS资源中学习计算机科学，而不是从曾经阅读过Wikipedia知识的程序员那里学习。（是的，这很严厉，但是我已经看到太多的错误说法在程序员圈子中传播，甚至在SO上也是如此。）

“渐近地更有效”是指“对于一定大小以上的所有问题都更有效”。它没有说“确定大小”是什么，也没有说在“确定大小”之前发生了什么。

因此，除了第二个答案外，所有答案显然都是错误的，因为“渐近地更有效”完全没有说明小的输入大小。但是第二个也是有问题的。

$10^{30}$$10^{30}$$10^{40}$

$10^{15}$