有指导的工会发现

考虑一个有向图在该图上可以动态添加边并进行一些特定的查询。$G$

示例：不相交的森林

考虑以下查询集：

arrow(u, v)
equiv(u, v)
find(u)

第一个向图形添加箭头，第二个确定，最后一个找到等价类的规范表示，即使得表示。ü ↔ * v ↔ * - [R （Û ）Ü ↔ * v [R （v ）= - [R （Û $u→v$$u↔^*v$$↔^*$$r(u)$$u↔^*v$$r(v)=r(u)$

有一种众所周知的算法，它使用不相交集森林数据结构以准恒定的摊销复杂度实现这些查询，即$O(α(n))$。请注意，在这种情况下，equiv是使用实现的find。

更复杂的变体

现在，我对一个方向很重要的更复杂的问题感兴趣：

arrow(u, v)
confl(u, v)
find(u)

第一个添加箭头，秒确定是否存在从和均可到达的节点，即。最后一个应该返回对象，使得暗示其中应该易于计算。（例如，为了进行计算）。目的是找到一个好的数据结构，使这些操作快速进行。$u→v$$w$$u$$v$$u→^*←^*v$$r(u)$$u→^*←^*v$$r(u) \bullet r(v)$$\bullet$confl

周期数

该图可以包含周期。

我不知道是否有一种方法可以有效地和增量地计算强连接的组件，以便仅针对主要问题考虑DAG。

当然，我也希望为DAG提供解决方案。这将对应于最小公共祖先的增量计算。

天真的方法

不相交的森林数据结构在这里没有帮助，因为它忽略了边的方向。请注意，在图形不汇合的情况下，不能是单个节点。$r(u)$

可以定义并在时将定义为。但是如何逐步计算呢？$r(u)=\{v ∣ u→^*v\}$$\bullet$$S_1\bullet S_2$$S_1 ∩ S_2≠∅$

像通常的联合查找算法一样，计算这么大的集合可能没有用，而较小的集合应该更有趣。

（编辑：既然我对问题的理解更加清楚了，现在就完全重写了我的答案。）

听起来可以解决此问题，因为在构建和搜索图形时，可以将其减少为逐步构建和改善图形的传递闭合的近似值。

$r(u)$抽象是图中每个从和均可到达的所有节点的集合。（当然，并不是所有的对都必须有一个可以从两个对都到达的节点。）与并集查找的情况不同，该集合不能在图中表示为规范的代表性节点，因为可能存在从和以及从和均可到达的节点，但是从和都无法到达。$u$$v$$v \ne u$$u, v$$u$$v$$u$$w$$v$$w$

假设您为每个维护了从可访问的一组节点（我将其称为）。对于每个节点，这些集将必然是额外的数据结构，或者至少是图中的一组额外的“快捷”边。如果您不关心保留图的指定结构，则无需在这些边和指定边之间进行区分。$u$$u$$R(u)$

对于没有比一般情况下更有效的数据结构（例如位向量或哈希表），我没有任何想法可用，但是您可以逐步更新这些集合：

每次将的边添加到其他节点，都设置。$u$$v$$R(u) = R(u) \cup R(v)$

实现confl通过首先尝试 ; 如果非空，则返回true。但是，如果为空，请从和进行两个并行的广度优先搜索，直到用尽了两个可达集或找到一个公共节点。在执行此操作时，还要更新和（以及找到的所有中间节点的），以包括找到的可达节点。如果确实找到一个公共节点，则设置R（u）= R（v）= R（u）\ cup R（v）。$R(u) \cap R(v)$$R(u)$$R(v)$$R(u)$$R(v)$$R$

find(u)只是返回。问题是，不能仅仅根据来实现。除非算法是非增量式的（即使用图的传递闭包来预先计算所有节点的所有集），否则我不知道怎么回事。成本，尽管我不知道它是否会很快达到。（可能不会。错误的答案要求即使您的集已饱和也要启动两个BFS ；这似乎是不可避免的，除非将算法设为非增量式。）$R(u)$conflfind$R$$O(\alpha(n))$confl$R$

这听起来很像是LaPoutré和van Leeuwen保持图形的传递闭合的方法的特例。

我意识到这并不能完全回答问题，但是也许可以澄清这个问题，对图形算法有更多经验的人可以为集编码提供更好的数据结构。$R$