找到 ST是 -hard任何

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让是所有的语言 -cnf公式，使得至少的的条款可被满足。 $L_\epsilon$ $2$ $\varphi$ $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ $\varphi$

我需要证明存在 ST是 -hard任何。 $\epsilon'$ $L_\epsilon$ $\mathsf{NP}$ $\epsilon<\epsilon'$

我们知道简可以使近似于子句的百分之几。我该如何解决呢？ $\text{Max}2\text{Sat}$ $\frac{55}{56}$ $\text{Max}3\text{Sat}$

complexity-theory satisfiability approximation

— 乔尼
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8

霍斯塔德（Håstad）在他着名的论文中指出，要比更好地逼近MAX2SAT是NP难的。对于某些，这可能难于NP区分可满足的实例和可满足的实例。现在想象一下填充一个实例，使其成为新实例的分数，其余实例恰好是 2-可满足的（假设它由形式的子句组组成）。现在数字变为和 $21/22$ $\leq \alpha$ $\geq (22/21) \alpha$ $\alpha \geq 1/2$ $p$ $1/2$ $a \land \lnot a$ $1/2 + p (\alpha - 1/2)$ $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$ 。后一个数字可以根据需要设置为接近。 $1/2$

— Yuval Filmus
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当ε是任意（但足够小）的实数时，您的方法有效吗？除非假设ε，否则我无法弄清楚如何选择适当数量的子句用于填充。（请注意，ε并非输入的一部分，因此定义为实数ε是正确定义的。）

— Tsuyoshi Ito

那就是和之间的差距可能有用的地方。假设是有理数，则取一些有理，则应该做得很好。

1 / 2 + p (α - 1 / 2)

$1/2+p(\alpha-1/2)$

1 / 2 + p ((22 / 21) α - 1 / 2)

$1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$

α

$\alpha$

p

$p$

— Yuval Filmus 2012年

啊哈，以某种方式，我认为该方法在我第一次尝试时不起作用，但是现在我知道了它的作用。谢谢！

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

5

如果您知道ε是一个有理数，那么您不需要Max-2-SAT即可证明您的陈述。Max-2-SAT NP硬度的典型证明（例如，Papadimitriou 教科书《Computational Complexity》一书中的证明）实际上证明了L _1/5的NP完整性。为了证明的NP-硬度大号_ε为正有理数ε <1/5，就可以减少大号_1/5到大号_ε如下：给定一个2CNF式φ（为实例大号_1/5），让米是其中的子句数。令r和小号是正整数，使得（1 / 5- ε）先生 = 2 ε 小号成立。然后构造一个2CNF式（一个实例大号_ε）通过重复φ为[R倍并添加小号对矛盾条款。一个简单的计算表明，这确实是从还原大号_1/5到大号_ε。

仅当ε是有理数时，这种减少显然有效，因为否则r和s不能视为整数。正如尤瓦尔·菲拉杜斯（Yuval Filmus）在其回答中所写，ε不一定是理性的一般情况似乎要求不可近似。

— 伊藤刚
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