简化n个多选k的复杂度

我有一个递归算法，其时间复杂度相当于从n中重复选择k个元素，我想知道是否可以得到一个更简化的big-O表达式。在我的情况下，可能大于并且它们独立增长。 $k$ $n$

具体来说，我期望一些显式的指数表达式。到目前为止，我能找到的最好的结果是基于Stirling的近似值，所以我可以使用它，但是我想知道是否可以得到更好的东西。 $O(n!) \approx O((n/2)^n)$

O ((\binom{n + k - 1}{k})) = O (?)

$O\left({{n+k-1}\choose{k}}\right) = O(?)$

asymptotics combinatorics runtime-analysis

— 约尼·拉维
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这不是很有帮助，但非常有趣，

— 拉马努詹

谢谢，

n! \sim \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

$n! \sim \sqrt{\pi} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt[6]{8n^3 + 4n^2 + n + \frac{1}{30}}$ 外观就像一个很酷的近似，但实际上似乎并没有帮助简化它。

— yoniLavi

Answers:

编辑：这个答案是 $k<n$ 。不限制 $k$ 的 $n$ 表示表达式是无界的。

如果则表达式变为。请注意，根据斯特林公式，对于任何其中是二进制熵。特别是。因此我们有 $k=n-1$ $O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)$ $0<\alpha<1$

（ \binom{米}{α 米} ） = Θ （ 米^{- 1个 / 2} 2^{H （ α ） 米} ） ，

${m \choose {\alpha m}}= \Theta(m^{-{1/2}} 2^{H(\alpha)m}),$

H (q) = - q \log q - (1 - q) \log (1 - q)

$H(q)=-q \log q - (1-q) \log (1-q)$

H (1 / 2) = 1

$H(1/2)=1$

k = n - 1

$k=n-1$

Ø （ （ \binom{2 （ ñ - 1个 ）}{ñ - 1个} ） ） = Θ （ （ 2 ñ - 2 ）^{- 1个 / 2} 2^{2 ñ - 2} ） = Θ （ \frac{4^{ñ}}{\sqrt{ñ}} ） 。

$O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)=\Theta((2n-2)^{-{1/2}} 2^{2n-2})=\Theta\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right).$

由于上限是最坏的情况（我将其作为练习来证明这一点），因此您的表达式为。 $k=n-1$ $O\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right)$

— 舒尔茨
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谢谢，正是我想要的！这是激励我学习信息论的另一件事。

— yoniLavi

@ Falcor84：我在上次转换中输入的打字错误较小。平方根部分不必转到分母。因此，界限比Paresh提出的界限稍好。（实际上，边界是渐近严格的。）

— A.Schulz

我也应该注意到那个小减号，再次感谢。

— yoniLavi

您的是最坏情况的“作为练习的左手”陈述是错误的。如果，则表达式为。这并不总是小于。

k = n - 1

$k = n-1$

n = 3

$n=3$

(\binom{k + 2}{k}) = (\binom{k + 2}{2}) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

${k+2 \choose k} = {k+2 \choose 2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

(\binom{4}{2}) = 6

${4 \choose 2} = 6$

— 彼得·索尔

由于，因此问题在和是对称的（在我的情况下，这个问题可能会增长而与之无关））。因此，我想，更准确的答案是将答案的最后一部分中的n替换为

(\binom{n + k - 1}{k}) = (\binom{n + k - 1}{n - 1})

${{n+k-1}\choose{k}} = {{n+k-1}\choose{n-1}}$

n

$n$

k

$k$

x := m a x (n, k)

$x := max(n,k)$

— yoniLavi 2013年

Wolfram说Sondow（2005）[1]以及Sondow和Zudilin（2006）[2]指出了不平等：对于是一个正整数，是一个实数。

\frac{1个}{4 [R 米} {[\frac{（ [R + 1个 ）^{[R + 1个}}{{[R}^{[R}}]}^{米} < （ \binom{（ [R + 1个 ） 米}{米} ） < {[\frac{（ [R + 1个 ）^{[R + 1个}}{{[R}^{[R}}]}^{米}

$\frac{1}{4rm}\left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m < {(r+1)m \choose m} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m$

m

$m$

r \geq 1

$r\ge 1$

然后，我们可以使用其中和。

（ \binom{ñ + ķ - 1个}{ķ} ） < （ \binom{ñ + ķ}{ķ} ） = （ \binom{（ [R + 1个 ） 米}{米} ）

${n+k-1\choose k} < {n+k\choose k} = {(r + 1)m \choose m}$

r = \frac{n}{k}

$r = \frac{n}{k}$

m = k

$m = k$

然后我们有

（ \binom{ñ + ķ - 1个}{ķ} ） < {[\frac{（ [R + 1个 ）^{[R + 1个}}{{[R}^{[R}}]}^{米} = {（ \frac{ñ + ķ}{ķ} ）}^{ñ + ķ}

${n+k-1\choose k} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m = \left(\frac{n+k}{k}\right)^{n+k}$

现在，二项式表达式在Pascal三角形的中间值最高。因此，在我们的情况下，或。 $n+k = 2k$ $k = n$

用上面的不等式代替，得到：。

（ \binom{ñ + ķ - 1个}{ķ} ） < 2^{2 ñ} = 4^{ñ}

${n+k-1\choose k} < 2^{2n} = 4^n$

因此，更严格的界限是。

（ \binom{ñ + ķ - 1个}{ķ} ） = Ø （ 4^{ñ} ）

${n+k-1\choose k} = O(4^n)$

您还可以看到最大值的下限是

（ \binom{ñ + ķ - 1个}{ķ} ） = Ω （ \frac{4^{ñ}}{ñ} ）

${n+k-1\choose k} = \Omega\left(\frac{4^n}{n}\right)$

参考文献：
[1] Sondow，J.，“问题11132”。阿米尔。数学。每月
112，180，2005 。[2] Sondow，J.和Zudilin，W.“拉曼努安和戈斯珀的欧拉常数，q对数和公式”，拉曼努安J. 12，12，225-244，2006。

— Paresh
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