使用渐近符号时出错

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我试图了解以下重复发生的以下证明有什么问题

T (n) = 2 T (⌊ \frac{n}{2} ⌋) + n

$T(n) = 2\,T\!\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)+n$

T (n) \leq 2 (c ⌊ \frac{n}{2} ⌋) + n \leq c n + n = n (c + 1) = O (n)

$T(n) \leq 2\left(c\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)+n \leq cn+n = n(c+1) =O(n)$

文档说，因为归纳假设它的错误是

T (n) \leq c n

$T(n) \leq cn$ 我在想什么？

— b
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使用Master定理也可以解决这种形式的重复情况。

— Juho 2012年

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@冉：我认为主定理不是解决这个问题的合适方法。问题不是关于如何解决它，而是指出特定论点中的谬误。此外，主定理可能过于具体，可能不应该拥有自己的标签。通常，我们应该基于问题而不是可能的答案进行标记。例如，您会标记这个akra-bazzi吗？

— Aryabhata'3

“以下证明有什么问题”-我看不到任何证明。写下完整的证明（即明确归纳）以发现错误通常是有帮助的。

— 拉斐尔

一个相关的更普遍的问题是求解或近似数字序列的递归关系。

— Juho 2012年

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假设最终目标是证明。您从归纳假设开始： $T(n) = \mathcal{O}(n)$

对所有。 $T(i) \leq ci$ $i < n$

并完成了证明，你必须表明为好。 $T(n) \leq cn$

但是，您可以推断出，这对完成证明没有帮助；对于（几乎）全部您需要一个常数。因此，我们无法得出任何结论，也无法证明。 $T(n) \leq (c+1)n$ $c$ $n$ $T(n) = \mathcal{O}(n)$

请注意，您在结果和证明过程之间感到困惑。还有一点，在这种情况下，实际上是，因此您可以考虑使用适当的归纳假设来证明这一点。 $T(n)$ $\Theta(n \log n)$

— 垫
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如果我们替换c'= c + 1，它将进行任何更改吗？

— Erb 2012年

@erb：不，不会。您必须证明所选择的常数。如果替换

，则最终得到

（或

），那么结果是相同的。

c^{'} = c + 1

$c'=c+1$

T (n) \leq (c^{'} + 1) n

$T(n) \leq (c'+1)n$

T (n) \leq (c + 2) n

$T(n) \leq (c+2)n$

— 填充

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您已经省略了一些步骤。看起来您正在尝试通过归纳证明，您的证明就可以了： $T(n) = O(n)$

假设对于。这意味着 $T(k) = O(k)$ $k<n$ 代表。然后 $T(k) \le c \, k$ $c$ ，因此。 $T(n) = 2 T(\lfloor n/2\rfloor) + n \le 2 c \lfloor n/2\rfloor + n\le (c+1) \,n$ $T(n) = O(n)$

该证明从一开始就错了：“ 对于 ”是没有意义的。大哦是渐近概念：手段，有一些恒定和阈值n使得 $T(k) = O(k)$ $k \lt n$ $T(k) = O(k)$ $c$ 。最后，您不能得出结论“ ”，因为这说明了有关函数的整体情况，而您仅证明了有关特定值。 $\forall k \ge N, T(k) \le c \, k$ $T(n)=O(n)$ $T$ $T(n)$

您需要明确说明含义。所以也许您的证明去了： $O$

假设所有。然后 $T(k) \le c \, k$ $k < n$ 。 $T(n) = 2 T(\lfloor n/2\rfloor) + n \le 2 c \lfloor n/2\rfloor + n\le (c+1) \,n$

这并不能证明一个归纳步：从你开始，您证明了对于， $T(k) \le c \, k$ $k=n$ 。这是一个较弱的界限。看看这意味着什么： $T(k) \le (c+1) \, k$ 表示是的增长率的约束。但是你的速度时长增长。这不是线性增长！ $T(k) \le c \, k$ $c$ $T$ $c$ $k$

如果仔细观察，您会发现，每当加倍时，比率就会增加。因此，非正式地，如果则；换句话说，。 $c$ $1$ $k$ $m=2^p k$ $c_m = c_k + p$ $c_k = c_0 \log_{2} k$

这可以很精确。通过感应证明了对，。 $k \ge 1$ $T(k) \le c \log_2(k)$

递归关系是分而治之算法的典型特征，该算法在线性时间内将数据分为两个相等的部分。此类算法以时间（不是）。 $\Theta(n\,\mathrm{log}(n))$ $O(n)$

要查看预期的结果，您可以对照主定理检验递归关系。除法是，完成的额外功是 ; ，所以这是在第二种情况下的量，生长是 $2T(n/2)$ $n$ $\log_2(2) = 1$ 。 $\Theta(n\,\log(n))$

— 吉勒斯“别再邪恶了”
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我正在扩展已经给出的答案，也许只是通过更详细地解释我的评论。

由于猜测显然是困难且乏味的，因此有时存在更好的方法。一种这样的方法是主定理。现在我们的复发形式的，其中并且是常数，的功能。请注意，在我们的例子可以被解释为 $T(n) = a T(n/b) + f(n)$ $a \geq 1$ $b > 1$ $f(n)$ $\lfloor n/2 \rfloor$ $n/2$ 。从技术上讲，由于可能不是整数，因此递归的定义可能不明确。但是，这是允许的，因为它不会影响复发的渐近行为。因此，我们经常发现放下地板和天花板很方便。正式的证明有点繁琐，但是有兴趣的读者可以从例如Cormen等人的文章中找到。书。 $n/2$

在我们的情况下，我们有，，。这意味着我们有。由于，因此适用了Master定理的第二种情况，并且我们有解 $a = 2$ $b = 2$ $f(n) = \Theta(n)$ $n^{\log_b a} = n^{\log_2 2} = n$ $f(n) = \Theta (n)$ 。 $T(n) = \Theta (n \log n)$

— Juho
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谢谢！可以注意到的是“滴落地板和ceils”对应于假设

其通常完成。基本观察是，对于非递减函数，子序列的渐近增长等于整个序列的渐近增长。

n = 2^{k}

$n=2^k$

— 拉斐尔