轻松证明无上下文语言在循环移位下被关闭

语言L的循环移位 （也称为旋转或共轭）定义为\ {yx \ mid xy \ in L \}。根据维基百科（和此处），无上下文语言在此操作下是封闭的，参考了Oshiba和Maslov的论文。有一个容易证明这一事实的证据吗？$L$$\{ yx \mid xy \in L \}$

对于常规语言，闭包以这种形式讨论为“ 证明在循环运算符下关闭了常规语言 ”。

您可以尝试使用下推自动机。给定原始语言的下推自动机，我们为循环移位构造一个。新的自动机分两个阶段运行，分别对应词的和部分（其中是原始语言）。在第一阶段，每当自动机想要弹出一个非终端，它就可以推送一个非终端。这个想法是，在第一阶段的最后，堆栈将包含相反的顺序，即原始自动机读取后在堆栈中找到的符号。在第二阶段（开关是不确定的），而不是按下非端子$y$$x$$yx$$xy$$A$$A'$$x$$A$，我们可以弹出非终端。如果原始自动机确实可以在读取时生成堆栈，那么新的自动机将能够准确弹出整个堆栈。$A'$$x$

编辑：这里有一些更多的细节。假设我们给了一个PDA，其字母为，状态集，接受状态，非终端，初始状态和一组允许的过渡。每个允许的过渡都具有，这意味着当处于状态，在读取（或，在这种情况下，它是自由过渡），如果堆栈顶部是（或，这意味着堆栈为空），则PDA可以（这是一个不确定性模型）移至状态，替换为Σ Q ˚F Γ q 0（q ，一，甲，q '，α ）q 一个∈ 甲一个= ε 甲∈ Γ 甲= ε q '甲α ∈ Γ $\Sigma$$Q$$F$$\Gamma$$q_0$$(q,a,A,q',\alpha)$$q$$a \in A$$a = \epsilon$$A \in \Gamma$$A = \epsilon$$q'$$A$与。$\alpha \in \Gamma^*$

新的PDA每个具有新的非终端。对于每两个状态和，有两个状态。起始状态（实际起始状态是通过过渡非确定地选择的）是。对于每个过渡都有对应的过渡和。还有其他过渡。甲'甲∈ Γ q ，q ' ∈ Q 甲∈ Γ q “，1 ），一，甲，（q '，q ”，1 ），α $A'$$A \in \Gamma$$q,q' \in Q$ ∪ { ε } （q ，q '，1 ），（q ，q '，2 ，甲）ε （q ，q ，1 ）（q ，一个，A ，q '，α ）（（q $A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$(q,q',1),(q,q',2,A)$$\epsilon$$(q,q,1)$$(q,a,A,q',\alpha)$$((q,q'',1),a,A,(q',q'',1),\alpha)$$((q,q'',2,B),a,A,(q',q'',2,B),\alpha)$

对于每个过渡，都有过渡，其中和。对于每个最终状态，都有过渡，其中。（q ，一，甲，q '，α ）（（q ，q “，1 ），一个，乙'，（q '，q ”，1 ），乙' 甲' α ）乙＆Element; Γ ∪ { ε } ε ' = ε q ∈ ˚F （（q $(q,a,A,q',\alpha)$$((q,q'',1),a,B',(q',q'',1),B'A'\alpha)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$\epsilon' = \epsilon$$q \in F$q “，1 ），ε ，甲，（q 0，q ”，2 ，ε ），甲）甲＆Element; Γ ∪ { ε $((q,q'',1),\epsilon,A,(q_0,q'',2,\epsilon),A)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$

对于每个过渡，都有过渡，其中。对于每个过渡，都有过渡，其中。对于每个过渡，都有“广义过渡” ; 这些被实现为通过中间新状态的两次转换的序列。过渡\ alpha） 和（q ，一个，ε ，q '，α ）（（q ，q “，2 ，甲），一个，乙'，（q '，q ”，2 ，甲），乙' α ）甲＆Element; Γ ∪ { ε } （q ，一个，ε ，q $(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$((q,q'',2,A),a,B',(q',q'',2,A),B'\alpha)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$，甲）（（q ，q “，2 ，乙），一，甲'，（q '，q ”，2 ，甲），ε ）乙＆Element; Γ ∪ { ε } （q ，一，甲，q '，B ）（（q ，q ''，$(q,a,\epsilon,q',A)$$((q,q'',2,B),a,A',(q',q'',2,A),\epsilon)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$(q,a,A,q',B)$，Ç ），一，乙'甲，（q ，q “，2 ，Ç ），ε ）（q ，一个，ε ，q '，α ）| α | ≥ 2 （q ，一，甲，q '，甲）（（q ，q “，2 $((q,q'',2,C),a,B'A,(q,q'',2,C),\epsilon)$$(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$|\alpha| \geq 2$被类似地处理。对于每个过渡，都有过渡，其中。过渡的处理方式类似。最后，有一个唯一的最终状态，以及过渡。$(q,a,A,q',A)$甲），一个，乙，（q '，q “，2 ，甲），乙）乙＆Element; Γ ' ∪ { ε } （q ，一，甲，q '，甲α ）˚F （（q ，q ，2 ，A ），ϵ ，ϵ ，f ，$((q,q'',2,A),a,B,(q',q'',2,A),B)$$B \in \Gamma' \cup \{\epsilon\}$$(q,a,A,q',A\alpha)$$f$$((q,q,2,A),\epsilon,\epsilon,f,\epsilon)$

（我可能错过了一些转换，而我省略的一些细节有些混乱。）

回想一下，我们正在尝试接受单词，其中被原始PDA接受。状态表示我们处于阶段1，处于状态，而原始PDA 在读取之后处于状态。状态相似，其中对应于最后弹出的。在第一阶段，我们被允许推动，而不是弹出。我们对在处理产生的每个非终端执行此操作，但在处理时才弹出。在第二阶段，我们可以弹出ÿ X X Ý （q ，q '，1 ）q q ' X （q ，q '，2 ，甲）甲甲' 甲'甲X ý 甲'甲甲ε 乙$yx$$xy$$(q,q',1)$$q$$q'$$x$$(q,q',2,A)$$A$$A'$$A'$$A$$x$$y$$A'$而不是推。如果这样做，那么我们必须记住，库存最高的实际上是；这仅在堆栈上没有“临时”内容时才适用，在模拟的PDA中，“临时”内容与或形式为的堆栈顶部相同。$A$$A$$\epsilon$$B'$

这是一个简单的例子。考虑自动机是推动对于每个，并弹出每个。新的自动机接受两种形式的单词：和。对于第一种形式的话，第1阶段由推倍阶段2包括弹出的倍，推次，和弹出次。对于第二种形式的单词，我们首先按次X Ñ ÿ Ñ甲X 甲ý ý ķ X Ñ ý ñ - ķ X ķ ý ñ X ñ - ķ ķ 甲' ķ 甲' ñ - ķ 甲ñ - ķ 甲ķ 甲ķ 甲ñ - ķ 甲' ñ - ķ A $x^n y^n$$A$$x$$A$$y$$y^k x^n y^{n-k}$$x^k y^n x^{n-k}$$k$$A'$$k$$A'$$n-k$$A$$n-k$$A$$k$$A$，然后弹出次，按次，过渡到阶段2，然后弹出次。$k$$A$$n-k$$A'$$n-k$$A'$

对于各种类型的括号（“（）”，“ []”，“ <>”）来说，这是一个更复杂的示例，因此每种类型的括号的直接后代必须属于不同的类型。例如，“（[] <>）”可以，但是“（）”是错误的。对于每一个“（”我们推，如果顶级的堆栈是不是，每个“）”，我们弹出。类似地，，与“ []”和“ <>”相关联。这就是我们如何接受单词“>）（[（（]] <”。我们消耗“>）”，推动，然后过渡到阶段2。我们消耗“（”，弹出和记住顶级的堆栈中的。我们使用“ [（）]”，推并弹出 ; 推时甲阿甲乙Ç Ç ' 甲' 甲'甲乙甲$A$ $A$$A$$B$$C$$C'A'$$A'$$A$$BA$$B$，我们知道“真正的”栈顶是，因此允许使用方括号（我们不会被“>）（（）<”所迷惑）；按下，由于堆栈的顶部是（不是或的形式），那么我们知道也是“真实的”堆栈顶部，因此可以使用圆括号（即使阴影栈顶是）。最后，我们使用“ <”并弹出。$A$$A$$B$$\epsilon$$X'$$B$$A$$C'$

考虑Greibach范式。要构造一种转换的语言，您只需要将更改即可将并添加一个新的非终端，其行为类似于以前的习惯，以防某些情况生产引用。小号→ α 阿1 ... 甲Ñ小号→ 阿1 ... 甲Ñ α 小号“小号$S \to \alpha A_1 \dots A_n$$S \to A_1\dots A_n \alpha$$S'$$S$$S$

检验旧的霍普克罗夫特和乌尔曼经典著作《自动机理论导论》（1979年），是一个好主意。循环中的关闭为练习6.4c，并标记为S **。双星意味着这是最困难的问题之一（在书中）。幸运的是，S表示这是选择的解决方案之一。

解决方法如下。以Chomsky正常形式获取CFG。考虑任何派生树，并将其基本倒置。考虑 原始树中的路径。树的左侧是贡献到右侧 ，这意味着派生的字符串等于。（实际上，当路径继续向左移动时，语法是CNF，贡献将在右边，而相应的为空，等等。）S = X 1，X 2，… ，X n x 1，x 2，… ，x n y 1，y 2，… ，y n x 1 x 2 … x n y n … y 2 y 1 x $S=X_1, X_2, \dots , X_n$$x_1, x_2, \dots, x_n$$y_1, y_2, \dots, y_n$$x_1 x_2 \dots x_n y_n \dots y_2 y_1$$x_i$

倒置的树的路径为，左侧为，右侧为 ，因此结果为是的派生词。按要求。$S', \hat X_n, \dots \hat X_2, \hat X_1$$y_n, \dots, y_2 y_1$$x_n, \dots, x_2 x_1$$y_n \dots y_2 y_1 x_1 x_2 \dots x_n$

书中给出了结构的完整细节。

请注意，这如何使Yuval想到（已接受）解决方案。推送而不是弹出的非终端在堆栈上的顺序相反。非常类似于倒挂在树上。