潜在函数二进制堆提取最大值O（1）

我需要帮助来确定最大堆的潜在函数，以便在摊销时间内完成提取最大。我还要补充一点，就是我对潜在方法没有很好的了解。 $O(1)$

我知道insert函数应该“付出更多”以减少提取的成本，这必须要考虑到堆的高度（如果给出了堆应该是或） $\lfloor \log(n) \rfloor$ $2\log(n)$ $\sum_{k=1}^n 2\log(k)$

— 安德烈
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请尝试以下操作：

堆元素的权重是其在相应二叉树中的深度。因此，根元素的权重为零，其两个子权重为1，依此类推。您定义为潜在功能 $w_i$ $i$ $H$

Φ (H) = \sum_{i \in H} 2 w_{i} .

$\Phi(H)=\sum_{i\in H}2 w_i.$

现在让我们分析堆操作。对于插入，您添加了一个新元素，最多增加了深度。这样可以将电势增加，并且可以在时间内完成。然后，您“冒泡”新的堆元素以确保堆属性。这需要时间，而不变。因此，插入成本为。 $d$ $\log(n)$ $2d$ $O(1)$ $O(\log n)$ $\Phi(H)$ $O(\log(n)+\Delta(\Phi(H)))=O(\log n)$

现在考虑extractMin。您取出根并用堆中的最后一个元素替换它。这样可以将电势降低，因此您可以负担得起修复堆属性的费用，因此摊销成本现在为。 $2\log(n)$ $O(1)$

如果您对潜在功能有一个一般性问题，则应将其视为另一个问题。

— 舒尔茨
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我确定您是正确的，但我不理解插入内容。为什么不变？抱歉，答案很明显，但是您可以扩大吗？我不明白为什么您在那里会有一个负数

Δ (Φ (H)))

$\Delta(\Phi(H)))$

Δ

$\Delta$

— andrei 2013年

Δ (Φ (H))

$\Delta(\Phi(H))$ 指电位差-插入前后。最多为。当交换堆中的两个元素（向上气泡或向下气泡）时，一个权重变为+1，而另一个权重变为-1，因此势（所有权重的总和）保持不变。

2 \log (n)

$2\log(n)$

— A.Schulz 2013年

维修O（1）怎么样？潜在功能在修复堆中有什么用？能否请你澄清

— Sohaib

@Sohaib：修复需要时间，但是使用上述潜在函数摊销了时间。除了分析摊销成本外，没有其他用途。

O (\log n)

$O(\log n)$

O (1)

$O(1)$

— A.Schulz，2015年

@ A.Schulz因此，从本质上讲，这意味着给定提取操作要进行n次，因为每次电位函数都会减少2logn（在修复时可能会或可能不会平均增加）。这种事情的总体复杂度将是恒定的时间，因为最终树中将没有节点。我对吗？

— Sohaib 2015年