何时邻接表或矩阵是更好的选择？

有人告诉我，如果图是稀疏的，我们将使用列表；如果图是密集的，将使用矩阵。对我来说，这只是一个原始定义。我没有看到更多。您能否澄清何时才是最自然的选择？

提前致谢！

首先请注意，稀疏意味着您只有很少的边，而密集意味着您有很多边，或者几乎是完整的图形。在一个完整的图中，您有边，其中是节点数。$n(n-1)/2$$n$

现在，当我们使用矩阵表示时，我们分配矩阵来存储节点连接性信息，例如，如果节点和之间存在边，则，否则。 但是，如果我们使用邻接表，则我们有一个节点数组，每个节点都指向其邻接表，仅包含其相邻节点。$n\times n$$M[i][j] = 1$$i$$j$$M[i][j] = 0$

现在，如果图是稀疏的并且我们使用矩阵表示，那么大多数矩阵单元将保持未使用状态，这将导致内存浪费。因此，我们通常不将矩阵表示用于稀疏图。我们更喜欢邻接表。

但是，如果图是密集的，则边的数量接近（完整），如果图是用自环指向的，则边数接近。因此，与矩阵相比，使用邻接表没有任何优势。$n(n-1)/2$$n^2$

就空间复杂度而言，
邻接矩阵： 邻接列表： 其中是节点数，是边数。$O(n^2)$
$O(n + m)$
$n$$m$

当图是无向树时，
邻接矩阵： 邻接列表：是（大于）O （n + n ）O （n ）n $O(n^2)$
$O(n + n)$$O(n)$$n^2$

有向图完成后，带有自循环，然后是
邻接矩阵： 邻接列表：是（无差值）O （n + n 2）O （n 2$O(n^2)$
$O(n + n^2)$$O(n^2)$

最后，当您使用矩阵实现时，检查两个节点之间是否存在边需要次，而使用邻接表时，可能要花费线性时间。$O(1)$$n$

通过提供一个简单的类比来回答。如果您必须存储6盎司的水，您（通常来说）会用5加仑的容器或8盎司的杯子来这样做吗？

现在，回到您的问题。如果矩阵的大部分为空，那么为什么要使用它呢？只需列出每个值即可。但是，如果您的清单确实很长，为什么不只使用矩阵来压缩它呢？

在这种情况下，列表与矩阵背后的原因实际上就是这么简单。

PS列表实际上只是一个单列矩阵！！！（试图向您展示决策/场景的任意性）

考虑具有节点和边的图。忽略低阶项，图的位矩阵使用位，无论有多少边。E N $N$$E$$N^2$

但是，您实际上需要多少位？

假设边是独立的，则具有节点和边的图的数量为。存储此子集所需的最小位数为。$N$$E$${N^2 \choose E}$$\log_2 {N^2 \choose E}$

我们将不失一般性地假设，即存在一半或更少的边缘。如果不是这种情况，我们可以存储“非边缘”集。$E \le \frac{N^2}{2}$

如果，，那么矩阵表示是渐近最优的。如果，使用斯特林近似和一点点算术，我们发现：$E = \frac{N^2}{2}$$\log_2{N^2 \choose E} = N^2 + o(N^2)$$E \ll N^2$

如果您认为是可以表示节点索引的整数的大小，则最佳表示形式是节点ID的数组，即节点索引对的数组。$\log_2 N$$2E$

话虽如此，稀疏性的一个很好的度量是熵，它也是最优表示的每个边缘的位数。如果是存在边的概率，则熵为。对于，熵为2（即最佳表示中每个边两个位），并且图是密集的。如果熵显着大于2，尤其是如果它接近指针的大小，则该图是稀疏的。$p = \frac{E}{N^2}$$- \log_2{p(1-p)}$$p \approx \frac{1}{2}$