集合和类型之间的语义区别到底是什么？

编辑：我现在已经问过有关类别和集合之间差异的类似问题。

每当我读到类型理论（这诚然是相当非正式的），我无法真正了解它集理论的不同之处，具体。

我知道说“ x属于一个集合X”和“ x是类型X”之间存在概念上的区别，因为从直觉上讲，集合只是对象的集合，而类型具有某些“属性”。尽管如此，集合通常也根据属性进行定义，如果确实如此，那么我将很难理解这种区别的重要性。

所以在最具体的方式可能，究竟是什么暗示 关于$x$的说，它的类型是，比说，这是集合的元素？$T$$S$

（您可以选择任何类型和设置以使比较最清晰）。

要了解集合和类型之间的区别，必须先回到“集合”和“构造”的数学前思想，然后看看集合和类型如何将它们数学化。

关于什么是数学，存在多种可能性。其中两个是：

1. 我们认为数学是一种根据某些规则构造数学对象的活动（将几何学视为使用尺子和罗盘构造点，线和圆的活动）。因此，数学对象根据其构造方式进行组织，并且存在不同类型的构造。数学对象总是以某种独特的方式构造的，这决定了它的独特类型。

2. 我们将数学视为充满了预先存在的数学对象（考虑给定的几何平面）的广阔宇宙。我们发现，分析并考虑了这些对象（我们观察到平面中存在点，线和圆）。我们收集他们入组。通常，我们收集具有共同点的元素（例如，所有通过给定点的线），但是原则上一组可以将任意选择的对象组合在一起。集由其元素指定，并且仅由其元素指定。数学对象可能属于许多集合。

我们并不是说上述可能性是仅有的两种，或者其中任何一种都完全描述了数学是什么。尽管如此，每个人的观点都可以作为通用数学理论的有用起点，该理论有用地描述了广泛的数学活动。

很自然地接受类型并想象我们可以使用的规则构造的所有事物的集合。这是扩展的，这是不是本身。例如，以下两种类型具有不同的构造规则，但是它们具有相同的扩展名：$T$$T$$T$ $T$

1. 对的类型，其中被构造为自然数，被构造为证明是大于的偶质数的证明。$(n, p)$$n$$p$$n$$3$

2. 对的类型，其中被构造为自然数，被构造为证明的奇数质数小于的证明。$(m, q)$$m$$q$$m$$2$

是的，这些都是愚蠢的琐碎示例，但要点是：两种类型的扩展名都没有，但是它们的构造规则不同。相反，的集合 和 是相等的，因为它们具有相同的元件。

请注意，类型理论与语法无关。它是构造的数学理论，就像集合论是集合的数学理论一样。碰巧的是类型理论的通常表现形式强调语法，因此人们最终认为类型理论就是语法。不是这种情况。将数学对象（构造）与表示它的句法表达（术语前项）相混淆是一个基本的类别错误，长期以来一直困扰着逻辑学家，但现在已经不复存在了。

首先，集合和类型甚至不在同一个领域。集是一阶理论（例如ZFC集理论）的对象。而类型就像杂草丛生的排序。把它用不同的方式，一套理论是一阶理论中的一阶逻辑。类型理论是逻辑本身的扩展。例如，马丁-洛夫类型理论在一阶逻辑中并未作为一阶理论提出。同时讨论集合和类型并不常见。

正如离散蜥蜴所言，类型（和排序）具有句法功能。排序/类型表现为句法类别。它使我们知道哪些表达式格式正确。对于使用排序的简单示例，假设我们将任意字段上的向量空间理论描述为2排序理论。我们对标量有一个排序，对向量V有一个排序。在许多其他的事情，我们希望有缩放操作：小号Ç 一升é：小号 × V → V。这让我们知道小号ç 一升é（小号ç 一升$\mathsf S$$\mathsf V$$\mathsf{scale}:\mathsf S\times \mathsf V\to \mathsf V$根本不是一个格式正确的术语。在类型理论的上下文中，像 f （x ）这样的表达式要求 f对于某些 X和 Y类型具有 X → Y类型。如果 f没有函数的类型，则 f （x ）根本不是格式正确的表达式。表达式是某种形式还是某种类型是一种元逻辑陈述。写这样的东西没有道理：（x ：X $\mathsf{scale}(\mathsf{scale}(s,v),v)$$f(x)$$f$$X\to Y$$X$$Y$$f$$f(x)$。首先， x ：X根本不是一个公式，其次，它在概念上甚至没有意义，因为排序/类型是让我们知道哪些公式格式正确的东西。我们只考虑格式正确的公式的真值，因此，当我们考虑某个公式是否成立时，我们最好已经知道它格式正确！$(x:X)\implies y=3$$x : X$

在集合论中，特别是在ZFC中，唯一的非逻辑符号是集合成员关系的关系符号。所以X ∈ ý是具有真值一合式公式。除变量外，没有其他术语。集合论的所有常用符号都是对此的定义扩展。例如，像式˚F （X ）= ý通常取为速记（X ，ÿ ）∈ ˚F其本身可以作为简写∃ p 。p ∈ ˚F ∧ p = （$\in$$x\in y$$f(x)=y$$(x,y)\in f$是用于速记 ∃ p 。p ∈ ˚F ∧ （∀ Ž 。ž ∈ $\exists p.p\in f\land p=(x,y)$ 在任何情况下，任何一组可利用的地方 ˚F和一切是一组！正如我最近在另一个问题中指出的那样， π （7 ）= 3其中

类型不是事物的集合（也不是事物的集合...），并且它不是由属性定义的。类型是一种语法类别，可让您知道哪些操作适用于该类型的术语以及哪些表达式格式正确。从作为类型的命题角度来看，正在分类的类型是该类型所对应的命题的有效证明。也就是说，给定类型的格式良好（即类型良好）的术语对应于相应命题的有效证明（也是语法对象）。集合论中没有发生这样的事情。

集合论和类型论实际上并没有什么相似之处。

在实践中，声称通常为T类型通常用于描述语法，而声称x在集合S中通常用于表示语义属性。我将举一些例子来阐明类型和集合在用法上的差异。对于哪些类型和实际设置的区别是，我指的是安德烈·鲍尔的回答。$x$$T$ $x$$S$

一个例子

为了阐明这种区别，我将使用Herman Geuvers讲义中给出的示例。首先，我们来看一个居住类型的例子：

和是一组的部件的例子： 3 ∈ { Ñ ∈ Ñ | ＆ForAll; X ，ÿ ，ž ∈ Ñ +（X Ñ + ý ñ ≠ Ž Ñ）

这里的主要区别在于，要测试第一个表达式是否为自然数，我们不必计算某些语义，我们只需“读”所有文字均为Nat类型且所有运算符均为在类型Nat上关闭。

然而，对于该组的第二个例子，我们要确定的语义的集合中的上下文。对于这个特定的集合，这是很难的：该集合的3的隶属关系等于证明Fermat的最后一个定理！请注意，如注释中所述，语法和语义之间的区别不能始终如此清晰。（而且您甚至可能会争辩说，即使这个示例也不清楚，正如Programmer2134在评论中提到的那样）$3$$3$

算法与证明

总而言之，类型通常用于对某些表达式的语法进行``简单''声明，以便可以通过算法检查类型的成员资格，而要测试集合的成员资格，通常需要证明。

要了解为什么使用这种区别很有用，请考虑一种类型化编程语言的编译器。如果该编译器必须创建形式检验来“检查类型”，则要求编译器执行几乎不可能完成的任务（通常，自动定理证明很难）。另一方面，如果编译器可以简单地运行（高效）算法来检查类型，则它可以实际执行任务。

严格解释的动机

集和类型的语义含义有多种解释。尽管根据此处的区别，扩展类型和具有不确定类型检查的类型（例如，如注释中提到的在NuPRL中使用的类型）将不是“类型”，但其他人当然可以自由地这样称呼它们（就像免费一样） （只要它们的定义合适，就称它们为别的东西）。

但是，我们（Herman Geuvers和我）宁愿不要将这种解释丢在窗外，为此，我（不是Herman，尽管他可能同意）具有以下动机：

首先，这种解释的意图与Andrej Bauer 的意图并不遥远。语法的目的通常是描述如何构造某些东西，并使用一种算法来实际构造它通常很有用。此外，通常仅在需要语义描述的情况下才需要集合的特征，因为语义描述允许不确定性。

因此，我们更严格的描述的优点是保持分隔更简单，从而获得与常见实际用法更直接相关的区别。只要您不需要或不想放松使用（如NuPRL），此方法就可以很好地工作。

我相信，关于集合和类型最具体的差异之一就是您脑海中“事物”被编码为形式语言的方式上的差异。

Both sets and types allow you to speak about things, and collections of things. The main difference is that with sets, you can ask any question you want about things and it will maybe be true, maybe not; while with types, you first have to prove that the question makes sense.

For example, if you have booleans $\mathbb B=\{\operatorname{true},\operatorname{false}\}$ and natural numbers $\mathbb N=\{0, 1,\dots \}$, with types, you can not ask if $\operatorname{true}=1$ which you can with sets.

One way to interpret this is that with sets, everything is encoded into a single collection: the collection of all sets. $0$ is encoded as $[0]=\{\}$, $n+1$ 编码为 $[n+1]=\{[n]\}\cup [n]$ 和 $\operatorname{true}$ 和 $\operatorname{false}$可以由任何两个不同的集合进行编码。所以问一下是否真的有意义$\operatorname{true}=1$，因为可以理解为询问“ $\operatorname{true}$ 与选择的编码相同 $1$“。但是，如果我们选择其他编码，则此问题的答案可能会改变：它与编码有关，而与事物无关。

然后，您可以将类型视为描述其内部事物的编码。用类型，问是否$a=b$，您首先必须证明 $a$ 和 $b$ have the same type, i.e. that they were encoded in the same way, which prohibits questions such as $\operatorname{true}=1$. You could still want to have a big type $S$ in which both $\mathbb B$ and $\mathbb N$ could be encoded, and then given two encodings $\iota_\mathbb B:\mathbb B\to S$ and $\iota_\mathbb N:\mathbb N\to S$, you could ask whether $\iota_\mathbb B(\operatorname{true})=\iota_\mathbb N(1)$ but the fact that this question depends on the encodings (and the choice of encodings) is now explicit.

Note that in those cases, whether the question made sense was actually easy to see but it could be much harder as in, for example, $(\operatorname{if} \text{very_hard_question} \operatorname{then} 1 \operatorname{else} \operatorname{true})=1$.

In summary, sets let you ask any question you want, but types force you to make encodings explicit when the answer may depend on them.