类别和集合之间的语义区别到底是什么？

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在这个问题中，我问set和type有什么区别。这些答案确实很明确（例如，@ AndrejBauer），因此出于对知识的渴求，我倾向于对类别进行同样的询问：

每当我读到范畴理论（这诚然是相当非正式的），我无法真正了解它集理论的不同之处，具体。

所以在最具体的方式可能，究竟是什么暗示 关于 $x$ 的说，它是在类，比说，？（例如，说是一个组与说在类别中有什么区别？）。 $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

（您可以选择任何类别并进行设置，以使比较最清晰）。

sets category-theory

— 用户名
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我不确定这个问题的格式是否正确。首先，您要问说“ x在类别C中”与“ x在集合S中”之间有什么区别。但是，再举一个例子，问“ x在类别Grp中”与“ x在一个组中”。什么？那不是你的问题的例子。您的问题的一个示例是询问“ x在类别Grp中”和“ x在所有组的集合中”之间有什么区别。但是即使这样，您是否仍然要问类别和集合之间的区别是什么也不是。

— Miles Rout

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简而言之，集合论与成员关系有关，范畴论与结构保留转换有关。

集合论仅涉及成员资格（即作为一个元素）以及可以根据其表达的内容（例如作为一个子集）。它自身与元素或集合的任何其他属性无关。

类别理论是谈给定类型的如何数学结构的方式¹可以转变成彼此²通过保持它们的结构的某些方面的功能; 它提供了一种统一的语言来表达各种类型的数学结构¹（组，自动机，向量空间，集合，拓扑空间，……甚至类别！）以及这些类型^1中的映射。尽管它形式化了结构之间的映射的属性（实际上是：施加结构的集合之间的映射），但是它仅处理地图和结构的抽象属性，称它们为态射（或箭头）和对象; 这些结构化集合的元素与类别理论无关，这些集合的结构也与它们无关。您问“ 这是什么理论 ”；它是任意类型的数学对象的保留结构映射的理论¹。

但是，如上所述，抽象类别³的理论完全忽略了指定所讨论对象结构的集合，运算，关系和公理，而仅提供一种语言来讨论确实如何保留某些此类结构的映射表现：在不知道保留什么结构的情况下，我们知道两个这样的映射的组合也保留了结构。因此，范畴论的公理要求有一个关于态射的联想组成定律，并且类似地，从每个对象到自身都有一个同态射态。但是，它不假定态射实际上是集合之间的函数，只是它们的行为像它们一样。

要解决的问题：具体类别为将结构添加到“基本类别”的对象中的模型建模；当这是我们可以有，我们像一群操作一组增加结构的情况。在这种情况下，关于如何根据特定的基本类别添加结构，可能还有更多的话要说。 $\mathsf{Set}$

关于您的表述的含义，请说“ 是一个组”，“ 是一组组的元素”（实际上是一个适当的类）或“ 是（一个对象）”（或“ -object”在逻辑上是同一意思，但谈论类别表明您对组同态（的态射）以及与其他态射的共同点感兴趣。另一方面，说 $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ 是一个小组可能表明您对小组本身的结构（其乘法运算）或对小组如何作用于其他数学对象感兴趣。你会不会谈论属于中集集团，尽管你可以很容易地编写一些特定你有兴趣组。 $G$ $G ∈ S$ $S$

也可以看看

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- 特别是/math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
抽象和具体类别： Adámek，Herrlich和Strecker的猫的欢乐
https://zh.wikipedia.org/wiki/类别_理论
- https://zh.wikipedia.org/wiki/具体类别

¹ _{在这里和被动我在类型理论的意义上不是指类型，而是数学对象/结构所需的一组属性，即它们满足的一组公理。通常，这些描述了某些操作或关系在被认为具有结构的集合元素上的行为，尽管在集合本身（）的情况下，没有超出集合本身的结构。无论如何，如上所述，范畴论忽略了这种结构的细节。 $\mathsf{Set}$}

² _{我或许应该说成全部或部分彼此的：一个允许从同态（整数）为由（有理数） $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ 。 $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{如果没有资格，“ 类别 ”通常是指“抽象类别”，据我所知，该类别于1945年引入并于1960年代发展，而具体类别似乎出现在1970年代。}

— PJ特拉尔
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我不确定这是否有说服力，但肯定有适当的团体。例如，每个集合在包含该集合的单例集合上产生一个琐碎的组。您还可以产生适当类的非同构示例。

— 德里克·埃尔金斯

谢谢。当您说：“这是一种任意类型的数学对象的保留结构映射的理论”时，您是从类型理论的角度或更正式地说是“类型”的意思吗？

— user56834 '18年

@ Programmer2134：很抱歉类型是否令人困惑（我确实纳闷）；我不是指类型理论（我对此一无所知），而是指给定类型的数学对象/结构具有一组特定属性（即满足某些公理）的数学对象/结构。

— PJTraill '18年

这澄清了。那么范畴论是否也明确地假设存在这样的公理，并且这些对象都满足那些公理？或者仅仅是我们用来定义范畴的元标准（即范畴论框架的元）？

— user56834 '18年

@ Programmer2134：不，类别理论完全忽略了公理，只是提供一种语言来谈论确实保留了这种结构的映射：在不知道保留什么结构的情况下，我们知道两个这样的映射的组合也保留了结构。因此，范畴论的公理要求有一个关于态射的联想组成定律，并且类似地，从每个对象到自身都有一个同态射态。但它并没有假设态射实际上是集之间的功能，只是他们的行为像他们一样。

— PJTraill '18年

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从某种意义上说，范畴论是集合论的概括：范畴可以是集合的范畴，也可以是别的。所以，你学会少，如果你知道了在某个不确定的类比，如果你得知对象是一组（因为在后一种情况下可以得出为以成套专门类别的对象）。如果您知道是特定指定类别（集合类别之外的对象）中的对象，则您所学到的知识与得知是集合（即集合类别中的对象）不同。两者都不暗示对方。 $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

说是一个组与说是类别Grp中的对象之间没有区别。这两个语句是等效的。 $x$ $x$

注意：我们并不是说属于Grp类别；我们说是类别Grp中的一个对象。类别既有对象又有箭头。您需要指定您正在谈论的内容。 $x$ $x$

— DW
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因此，让我像@AndrejBrauer在回答我的另一个问题时所做的那样，将类别与集合和类型进行比较。集合形式化了对象集合的概念。类型将对象构造的概念形式化。“类别”是什么形式的概念？范畴理论是什么理论的数学过程/结构？

— user56834 '18

“因此，如果您了解到

是某个未指定类别中的对象，那么您所学的知识就比您了解到

是集合时要少得多。” 如果将“是一个集合”替换为“是某个未指定集合的成员”，那么该语句将如何更改？我们是否通过说

是未指定类别的对象来强加任何限制？当然，我们可以形成一个类别，其中

是唯一的对象？

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834 '18年

@ Programmer2134，那是一个好点。说得通。我接受你的观点。

— DW

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关于DW的解释的另一点

说是一个组与说是类别中的一个对象之间没有区别。这两个语句是等效的。 $x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

我想发表一个更强有力的声明：

概念由其类别定义

从发明者想要解释他的概念的角度考虑它。假设你的新概念被称为。首先，您可能必须指定实例的实例可以有多少种变化。我们将该实例集合称为。 $M$ $M$ $M_0$

$M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

$M_0$ $M(A,B)$

一旦有了它，类别就为您提供了该概念的许多默认属性。示例范围从

“哪些实例基本相同---同构”，
“这两个实例中的哪个较多，哪个较少---断面收缩对”，
“此实例内部有多少个基本元素？---来自终端对象的homset”

等等。

至于你在评论中提出的问题

范畴论的理论是什么数学过程/结构？

$\mathsf{Cat}$

— 阿皮瓦（Apiwat Chantawibul）
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嗯我不完全了解如果我们知道某个结构的类别，我们怎么知道该结构的所有信息。我们不知道结构满足哪些公理？

— user56834 '18年

@ Programmer2134 汤姆·伦斯特（Tom Leinster）的反思集理论（这是Lawvere的工作总结）是一个很好的例子。这项工作通过定义集合类别的（形态）性质来定义集合论本身（无需访问“内部”任何对象以访问我们可能对集合存在的任何先前假设。）

— Apiwat Chantawibul，

因此，您是说在不忘记集合公理的情况下，仅考虑集合的类别，就不会丢失关于集合论的任何信息吗？

— user56834

@ Programmer2134是的，实际上，它更像是定义ZFC集理论的公理被转化为纯粹的态射性质。因此，我们断言该范畴具有有关射态的一些性质，它定义了集合论。

— 阿皮瓦（Apiwat Chantawibul）'18年

您是否知道以明确的方式专门解释类别理论这一点的文章？

— user56834

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套装

X \in 一个

$x\in A$

$f$

（ X ， ÿ ） \in F 和 （ X ， ž ） \in F \Rightarrow ÿ = ž

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

哲学。集具有内部结构-它们完全由其元素决定。

备注。集合论者广泛使用的公理系统是ZFC。它的优势在于简单性：只有集合和隶属关系。另一方面，许多数学家认为这导致了集合的概念，这与他们对集合的理解和使用不同（请在下面的Leinster中进行比较）。实际上，绝大多数数学家（集合论者除外）似乎都不使用ZFC公理。但是，集合不一定引用ZFC（请参阅以下类别和ETCS）。

分类目录

一个 \to 乙

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

X ： 1个 \to 一个

$x:1\rightarrow A$

哲学。类别的对象先验没有内部结构。它们只是以与其他对象的关系（同构）为特征。

备注。类别的基本概念是功能，这与绝大多数数学家对集合的使用相吻合。因此，您可能会看到类别是对来自不同领域的（大多数）数学家在日常工作中使用集合的方式的概念概括。除了归类（和归类）外，您还可以查看公理化集合的公理系统ETCS（在Leinster和Lawvere下进行比较）。

题。说x是一个群组与说x在类别Grp中有什么区别？

$x$ $x$

评论家

在ZFC和ETCS的情况下，这些方法可以相互转换，尽管ETCS比ZFC弱，但（似乎）涵盖了大多数数学（请参阅MathStackExchange和Leinster）。原则上（使用ETCS的扩展），您可以用两种方法证明相同的结果。因此，上述提到的两个概念的哲学都没有主张您可以表达什么或可以证明什么结果的根本区别。

ZFC中的表达式集和成员资格是抽象概念，就像类别或任何其他公理系统的概念一样，可以表示任何含义。因此，从这种正式观点出发，可以断言ZFC与集合的内部结构有关，而类别处理对象之间的外部关系似乎是不合适的。另一方面，这似乎是有关理论的哲学或直觉。

但是，在实践中，出于清晰或简单起见，或者由于某些概念或与另一区域的联系比其他地方更自然地发展，您会偏爱某种方法。

参考文献

Spivak。科学家的分类理论

伦斯特集理论

Lawvere。集合类别的基本理论

不带集合的MathStackExchange.Category理论

— FWE
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