通过虚部特征多项式求解递归

在算法分析中，您通常必须解决重复问题。除了主定理，替换和迭代方法外，还有一种使用特征多项式的方法。

说我的结论是一个特征多项式有虚根，即和。那我就不能用 $x^2 - 2x + 2$ $x_1 = 1+i$ $x_2 =1-i$

$\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n$

获得解决方案，对吗？在这种情况下我应该如何进行？

algorithms algorithm-analysis recurrence-relation

— 科雷
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欢迎！请注意，您可以通过使用LaTeX $...$ 。

— 拉斐尔

我很困惑。我确定您是指使用特征多项式而不是方程式的方法。什么是

？您给出的方程式的解不是虚构的，而仅仅是非理性的。“应用[多项式]”是什么意思？

j

$j$

— 拉斐尔

他采用了物理学家对

拼错的习惯。

i

$i$

— JeffE 2012年

当然可以。首先，解决方案满足重现要求。其次，解空间是维2的

— 〜

是的，实际上，对于由基本情况确定的某些常数和，解实际上是。如果基本情况是实数，则对于所有整数，（通过归纳）所有复数项都将抵消。 $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ $\alpha$ $\beta$ $T(n)$ $n$

例如，考虑复发，用碱例和。该递归的特征多项式为，因此解为 $T(n) = 2T(n-1) - 2T(n-2)$ $T(0)=0$ $T(1)=2$ $x^2-2x+2$ 对于某些常数和。插入基本情况可得出 $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ $\alpha$ $\beta$ 表示

T (0) = α (1 + i)^{0} + β (1 - i)^{0} = α + β = 0 T (1) = α (1 + i)^{1} + β (1 - i)^{1} = (α + β) + (α - β) i = 2

$T(0) = \alpha(1+i)^0 + \beta(1-i)^0 = \alpha+\beta = 0\\ T(1) = \alpha(1+i)^1 + \beta(1-i)^1 = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)i = 2$

，这意味着

和

。因此该解决方案是

α + β = 0 α - β = - 2 i

$\alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = -2i$

α = - i

$\alpha = -i$

β = i

$\beta = i$

T (n) = i \cdot ((1 - i)^{n} - (1 + i)^{n}) .

$T(n) = i\cdot ((1-i)^n - (1+i)^n).$

该函数在之间振荡和 $\sqrt{2}^n$ 的“周期”为4。特别是，对于所有，我们都有，因为（并且因为我选择了底数情况小心）。 $-\sqrt{2}^n$ $T(4n) = 0$ $n$ $(1-i)^4 = (1+i)^4 = -4$ $T(0)$

— 杰夫
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我似乎还记得特征多项式的假想根（如果我没记错的话，是序列生成函数的主要奇点），在某处隐含着负数元素。真的吗？如果是这样，可以肯定地说您永远都不会在算法分析中遇到这种情况。

— 拉斐尔

2

$2$

1 + i

$1+i$

1 - i

$1-i$

α 2^{n}

$\alpha 2^n$

α

$\alpha$