大无限链

首先，让我写大的定义只是为了使事情明确。 $O$

$f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ 使得 $0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

假设我们有有限数量的函数：令人满意： $f_1,f_2,\dots f_n$

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

通过传递性，我们得到： $O$ $O(f_1)\subseteq O(f_n)$

如果我们有无限链，这是否成立？换句话说，吗？ $O's$ $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$

我无法想象发生了什么。

asymptotics landau-notation

— 萨达姆
source

Answers:

我们首先需要弄清“如果我们有无限链，这是否成立？”的含义。我们将其解释为函数的无穷序列，因此对于所有我们都有。这样的序列可能没有最后的功能。 $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$ $i$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$

我们可以看一下序列中函数的极限，即。但是，该限制可能不存在。即使存在它，我们也可能没有。例如，考虑函数的序列。对于每个，，因此。但是因此。 $f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$ $f_1(n) = O(f_\infty(n))$ $f_i(n) = \frac{n}{i}$ $i$ $f_i(n)=\Theta(n)$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ $f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$ $f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

另一方面，我们可以看一看类序列的极限，它不必与函数极限的类相等。我们有，因此和所有。优越的极限包含无限频繁发生和下限值包含发生在所有的所有元素的所有元素（功能在这种情况下）对于一些 $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$ $\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$ $f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$ $j$ $\mathcal O(f_i), i \ge n_0$ $n_0$ （可能取决于元素）。由于类的序列是单调增加的，所以两者都存在并且它们相等。这证明的使用是合理的。 $\lim$

— frafl
source

有两个系列：函数之一（可以收敛或不收敛）和集合之一（其中每个集合是前一个集合的超集；这就是为什么该系列收敛的原因，请参见lim inf和lim sup对集合的定义）。第一部分回答没有部分的问题，第二部分否定地回答部分（如果是某种酸橙）。

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

如果条款数量不可数怎么办？:)

— SamM

使用井井有条还是要用更连续的序列替换序列？:)

— frafl

@Kaveh非常感谢，现在很有意义了。如果您可以证明使用限制的合理性以及该限制的含义，那么将有助于我理解。

— saadtaame

@saadtaame：也许是因为上面的问题仍然没有问您想知道什么？如果我没记错的话，您添加了因为有评论建议这样做。如果您提供一些背景信息，也许有人可以再次改写这个问题。

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl 2013年

是的，可能有无限的链。

我确定您已经熟悉一些示例：您在这里有一个无限链：增长程度的多项式。你能走得更远吗？当然！指数的增长（渐近而言）比任何多项式都快。当然，您可以继续：

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$

O (e^{x}) \subseteq O (x e^{x}) \subseteq O (e^{2 x}) \subseteq O (e^{e^{x}}) \subseteq \dots

$O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

您也可以在另一个方向上构建无限链。如果则（坚持正函数，因为在这里我们讨论复杂度函数的渐近性）。因此，例如： $f = O(g)$ $\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (\frac{e^{x}}{x^{2}}) \subseteq O (\frac{e^{x}}{x}) \subseteq O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$

实际上，给定函数任何链，您可以构建一个函数，其增长速度快于所有函数。（我假设是从到函数。）首先，从概念。由于集合可以是无界的，所以这可能不起作用。但是由于我们只对渐进式增长感兴趣，所以从小处着手并逐步增长就足够了。在有限数量的函数中取最大值。 $f_1, \ldots, f_n$ $f_\infty$ $f_i$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}_+$ $f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ $\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

f_{\infty} (x) = max {f_{n} (x) ∣ 1 \leq n \leq N} if N \leq x < N + 1

$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if $N \le x \lt N+1$}$ 那么对于任何，，因为。如果要严格严格增长函数（），则取。

N

$N$

f_{N} \in O (f_{\infty})

$f_N \in O(f_\infty)$

\forall x \geq N, f_{\infty} (x) \geq f_{N} (x)

$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$

f_{\infty} = o (f_{\infty}^{'})

$f_\infty = o(f_\infty')$

f_{\infty}^{'} (x) = x \cdot (1 + f_{\infty} (x))

$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$

— 吉勒斯“别再邪恶了”
source

所有这些答案（您的和其他答案）都是基于以下假设：我们知道无穷大后发生了什么，它们对我来说是无法满足的，我对OP也不了解（为什么我们不应该拥有无限大的封闭小组？）

@SaeedAmiri对不起，我不明白您的评论：“我们知道无限远发生了什么，它们对我来说是不满足的”，您的意思是什么？

— 吉尔（Gilles）'所以