O（mn）被认为是“线性”或“二次”增长吗？

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如果我有一个函数，其时间复杂度为O（mn），其中m和n是其两个输入的大小，我们将其时间复杂度称为“线性”（因为在m和n中均为线性）或“二次”（因为它是两种尺寸的产品）？或者是其他东西？

我觉得称它为“线性”是令人困惑的，因为O（m + n）也是线性的，但速度要快得多，但是我觉得称其为“二次数”也是很奇怪的，因为它在每个变量中都是线性的。

terminology asymptotics landau-notation

— 梅尔达德
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7

这是非常重要的线性说什么。例如，如果我们有一个具有

m

$m$ 边和

n

$n$ 个顶点的图，则

O (m + n)

$O(m+n)$ 的边数是线性的，但是（可能）顶点数是二次的。

— 拉斐尔

3

我认为拉斐尔的评论是当场的。必须相对于某些东西（通常是输入大小）使用“线性”。如果要转置

m \times n

$m\times n$ 矩阵，则

O (m n)

$O(mn)$ 是“线性的”，因为输入的大小为

O (m n)

$O(mn)$ 。如果要搜索在

n

$n$ 字符串中出现的

字符串，则

不是线性的

会是线性的。

m

$m$

O (m n)

$O(mn)$

O (m + n)

$O(m + n)$

— SamM

3

我也同意@Raphael的评论，但是与此同时，听到人们说特定的时间复杂度是“线性的”却没有提及什么相对并不少见。在某些情况下，这并不重要，例如O（m + n）相对于所有输入都是线性的，因此，我不会像上面SamM那样三思而后行地称其为线性。但这引出了一个问题：是什么使O（mn）非线性？

— Mehrdad 2013年

3

@Mehrdad：我认为基线是“假设输入被编码为二进制字符串（在图灵机磁带上），输入大小”。然后，此输入大小是

和

本身的函数。SamM给出了很好的例子。

n

$n$

m

$m$

— 拉斐尔

1

另请参见people.cis.ksu.edu/~rhowell/asymptotic.pdf在多个变量马车符号。

— 乔纳斯·科尔克（JonasKölker），

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在数学中，这样的函数称为多线性函数。但是计算机科学家可能一般不会知道该术语。绝对不能在数学或计算机科学中将此函数称为线性函数，除非您可以合理地将和之一视为常数。 $m$ $n$

— 彼得·索尔
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是什么使考虑

和

一个常数合理呢？

m

$m$

n

$n$

— user2768

11

为了阐明评论中的讨论，衡量相对增长是很重要的。

如@Kaveh所述，并非同时呈线性，但如果一个为常数而另一个为增长，则为线性。 $O(mn)$

另一方面，可能被认为是线性的。直观地，如果加倍，或者加倍，或者即使和加倍，则不能超过一倍。并非如此；如果和都加倍，则增加4。这就是为什么在许多情况下，该运行时间将被视为平方的原因。我在几个段落中给出了一个字符串匹配的例子。 $O(m+n)$ $m$ $n$ $m$ $n$ $m+n$ $mn$ $m$ $n$ $mn$

但是通常在使用Big- 表示法时，是将其用于特定的引用。由于我们大多是理论家，因此通常是问题输入的大小。 $O$

让我们以矩阵加法为例。将两个矩阵相加需要时间。但是我们输入的每个元素仅被触摸一次，因此通常将其称为线性。换句话说放，我们的输入是大小为，因此运行时间是线性的输入的大小。 $m\times n$ $O(mn)$ $O(mn)$ $O(mn)$

现在让我们看一下字符串匹配-即，给我们一个大小为的字符串和一个大小为的字符串，我们想看看在较大的字符串中是否存在较小的字符串。我们可以在时间里天真地检查它；通常将其视为二次方。为什么？如果和可以为任意值，则设置。那么我们的运行时间为，我们的输入大小为。 $m$ $n$ $O(mn)$ $m$ $n$ $m = n$ $O(m^2)$ $2m$

另一方面，如果使用Rabin-Karp算法，则（平均）时间。我们的输入包含两个字符串，因此我们的输入大小也为。因此，通常将其称为线性。 $O(m+n)$ $O(m+n)$

总结一下：对于矩阵乘法之类的事物，通常被称为线性，因为它在输入大小上是线性的，但是对于字符串匹配之类的事物，由于输入较小，通常被称为二次数。哪个术语合适取决于您在其中使用的上下文。 $O(mn)$

— 山姆
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8

如果正在测量在运行时间然后是不以线性函数。如果和之间没有关系，则该函数通常可以二次方增长。 $(m,n)$ $O(mn)$ $(m,n)$ $m$ $n$

但是，在每个变量中它都是线性函数，即，如果您固定其中一个变量并查看另一个变量的增长，则在另一个变量中它是线性函数。

— 卡韦
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3

要衡量具有多个输入的问题的复杂性，一种方法是找到主导变量，然后基于该变量绑定其他输入。使用这种方法，您可以具有基于单个变量的复杂度函数。

— 雷扎
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2

可能没有主要变量，例如，如果您有节点和边的数量。

— 拉斐尔

0

给定某种语言和一个函数使得为每 $L = \{w_1\#w_2|w_i \in (\Sigma\setminus\{\#\})^*,\dots\}$ $f$ $\min\{|w_1|,|w_2|\} \leq f(|w|)$ $w=w_1\#w_2 \in L$ 您可以估计算法的运行时间，该算法将识别为 $\mathcal O(|w_1|\cdot|w_2|)$ $L$ 。 $\mathcal O(f(|w|)\cdot(|w|-f(|w|))= \mathcal O(f(|w|)|w|-f(|w|)^2)= \mathcal O(f(|w|)|w|)$

这意味着您获得线性时间，如果输入的一小部分是恒定的（相对于整个输入），则它是次线性的，介于两者之间（例如），如果它是线性的，则为二次运行时间。 $\mathcal O(n\log n)$

— frafl
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