使用后缀数组计算两个字符串的最长公共子字符串

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在学习了如何以复杂度构建后缀数组之后，我对发现后缀数组的应用感兴趣。其中之一是在时间中找到两个字符串之间最长的公共子字符串。我在互联网上发现以下算法： $O(N)$ $O(N)$

将两个字符串和合并为一个字符串 $A$ $B$ $AB$
计算的后缀数组 $AB$
计算（最长公共前缀）数组 $LCP$
答案是最大值 $LCP[i]$

我尝试实现它，但是由于没有说很多实现细节（即，在连接字符串时，是否应该在它们之间加上一个特殊字符（）？），我的代码在许多测试用例上均失败了。有人可以详细说明一下该算法吗？ $AcB$

提前致谢。

注意：我不保证该算法的正确性；我在博客上找到了它，但不确定它是否有效。如果您认为它不正确，请提出另一种算法。

algorithms suffix-array

— 罗恩托格尼斯·亚里斯多芬尼斯
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在实施算法之前，请尝试了解其工作原理。这可以帮助回答一个问题，例如如何连接两个字符串。

— Yuval Filmus 2013年

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我怀疑这种算法的正确性。以和为例，我读它的方式将返回，这是错误的。

a b c d a b c d

$abcdabcd$

b c d

$bcd$

a b c d

$abcd$

— Khaur

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您的算法不正确。我假设您知道如何计算字符串的后缀数组和LCP数组，即它们的有效实现。正如评论中指出的那样，您应该尝试了解每个组件是什么以及它为何起作用。

首先，是字符串的后缀数组（）。后缀数组基本上是按字典顺序升序排列的字符串所有后缀。更具体地，值表示的后缀从位置开始排名在所有后缀的词典式排序。 $SA$ $S$ $SA[i]$ $S$ $SA[i]$ $i$ $S$

接下来是阵列。表示从和开始的后缀之间的最长公共前缀的长度。也就是说，当按字典顺序排列时，它会跟踪两个连续后缀中最长的公共前缀的长度。 $LCP$ $LCP[i]$ $SA[i-1]$ $SA[i]$ $S$

例如，考虑字符串。按字典顺序排列的后缀为，因此 $S = abbabca$ $\{a, abbabca, abca, babca, bbabca, bca, ca\}$ 对于1索引数组。的阵列将。 $SA = [7, 1, 4, 3, 2, 5, 6]$ $LCP$ $LCP = [-, 1, 2, 0, 1, 1, 0]$

现在，给定两个字符串和，我们将它们连接为，其中是和都不存在的字符。选择这种字符的原因是，当计算两个后缀的LCP（例如和，比较会在第一个字符串的末尾中断（因为它只会出现一次，两个不同的后缀永远不会在同一位置出现），也不会“溢出”到另一个字符串中。 $A$ $B$ $S = A\#B$ $\#$ $A$ $B$ $ab\#dabd$ $abd$

现在可以看出，您应该能够理解为什么只需要查看数组中的连续值（该参数基于矛盾以及中的后缀按字典顺序排列的事实）。继续检查数组的最大值，以使要比较的两个后缀不属于同一原始字符串。如果它们不属于同一原始字符串（一个以开头，另一个以开头），则此类值中的最大值是最大的公共子字符串的长度。 $LCP$ $SA$ $LCP$ $A$ $B$

例如，考虑和。然后，。排序后缀为 $A = abcabc$ $B = bc$ $S = abcabc\#bc$ 。 $\{abc\#bc, abcabc\#bc, bc, bc\#bc, bcabc\#bc, c, c\#bc, cabc\#bc\}$
$\begin{align*} SA &= [4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 7] \\ LCP &= [-, 3, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0] \end{align*}$

现在，最大的值是，但它对于和，这两者开始字符串。因此，我们忽略了这一点。在另一方面，为（对应于后缀的）和 $LCP[2] = 3$ $SA[1]$ $SA[2]$ $A$ $LCP[4] = 2$ $SA[3]$ $bc$ $B$ $SA[4]$ （对应于后缀的）。因此，这是两个字符串之间最长的公共子字符串。为了获取实际的子字符串，您可以从或（即）开始，选择长度（最大可行）子字符串。 $bcabc\#bc$ $A$ $2$ $LCP$ $SA[3]$ $SA[4]$ $bc$

— Paresh
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优秀的解释，但我认为，这个例子是一个有点不对劲，排序的后缀有：{#bc,abc#bc,abcabc#bc,bc,bc#bc,bcabc#bc,c,c#bc,cabc#bc}，SA=[7,4,1,8,5,2,9,6,3]和LCP=[−,0,3,0,2,2,0,1,1]

— 萨乌尔·马丁内斯Vidals

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您在网上找到的算法并不完全正确。正如Paresh提到的那样，在他给出的示例中将失败。

但是，如果确保在检查LCP时仅检查不同字符串的子字符串的LCP。例如，如果要查找字符串A和B的LCS，则需要确保在检查LCP时，后缀数组的相邻条目都不来自同一字符串。

更多细节在这里。

— 罗希特
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当您说“此答案”时，您是指您自己的答案还是其他答案？请仅使用答案框回答问题，而不对其他答案发表评论。获得足够的声誉后，您将可以对其他答案发表评论。

— David Richerby

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我认为，如果将不属于字符集的字符用作分隔符，并且构建后缀/前缀数组以排除包含分隔符的所有字符串，则您引用的算法确实应该可以工作，这可能是因为设计师。这基本上等效于为两个单独的字符串构建后缀/前缀数组。

如果您发布了该算法的链接，将对将来的参考很有帮助。请注意，维基百科采用伪代码和许多其他算法来实现这一目的。并且在线提供了大多数标准语言的实现。

— z
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