P，NP和专用图灵机

我是新手，但对计算和复杂性理论领域非常感兴趣，我想阐明我对如何对问题进行分类以及问题与解决问题所用机器的关联程度的理解。

我的理解

• 标准图灵机-具有有限字母，有限状态数和单个右无限带的图灵机
• 等效图灵机-可以模拟并由标准图灵机模拟的图灵机（通常在通过模拟实现的时间和空间之间进行权衡）
• P -可以使用标准图灵机（如上定义）在多项式时间内解决的问题类别
• NP -可以使用标准图灵机在多项式时间内验证的问题类别
• NP-complete-仍然存在的最困难的问题NP，所有NP问题都可以在多项式时间内转换为

我的问题

是（复杂类P，NP，NP-complete等）相关的算法，或算法和机器？

换句话说，如果您可以创建一个图灵等效机器（可以解决Standard TM可以解决的所有问题，但可以在不同的时间/空间范围内进行），并且此新机器可以解决随NP-complete时间增长的问题。关于输入的多项式，是否暗示P=NP？

还是必须NP-complete在多项式时间内将问题在所有可能的图灵机上都可以解决P？

还是我误解了上面的基本知识？

我看了一下（也许没有正确的搜索词，我不太了解所有的行话），但似乎大多数讲座/笔记等都集中在标准机器上，但是说定制机器通常具有一定的时空速度而不是以空间/时间为代价，而不必说这对复杂性类有何影响。我对这个领域的行话还不太熟悉，还没有找到可以解释这一点的论文。

算法和机器未在您的问题中定义，我认为不需要使用它们来询问您要问的问题。

复杂度类是使用图灵机定义的。那就是他们的定义。如果您想证明任何内容，则必须使用这些定义。除非您证明该模型与Turing机器之间存在某种对应关系，否则任何其他模型都不相关。

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{BPP}$

$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$

$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

仅仅说明一下，图灵机的高效仿真不仅意味着它可以高效地仿真图灵机的计算，反之亦然（多项式时间变慢）；反之亦然。而且还必须有效地将其输入/输出从一种模型转换为另一种模型。

一个简单的例子：如果找到一个可以在恒定时间内解决SAT问题但使用一堆弹珠（一元）作为输入的Turing等效设备，那么您将无法得出任何结论。如果您的设备使用二进制输入，也是如此，但是它花费了指数级的步数才能将SAT实例转换为它使用的输入格式。

您的理解很好！如果您有兴趣，也可以在文本中找到更多信息，例如Sipser的《计算理论入门》。

有一个叫做教堂图灵论文的想法，它说可以用图灵机来计算的任何可以某种方式计算的东西。（这不是可证明的，而只是我们认为是正确的一个想法或某种自然法则）。

我之所以这么说是因为还有一个“扩展的教会图灵论题”，其中说可以在多项式时间内以某种方式计算的任何事物都可以使用图灵机在多项式时间内进行计算。

有充分的理由怀疑这个猜想，因为我们知道量子计算算法比最著名的经典算法获得的多项式加速要好于多项式。但是，除此之外，我们认为您可以构建的任何经典计算机（当然是图灵机上的任何变体）都不能比图灵机快得多。因此，如果您的“等效机器”可以运行在多项式时间内解决NP完全问题的算法，则P = NP，因为我可以将其转换为针对TM上相同问题的多项式时间算法。

但是，如果您考虑使用某种图灵等效机器，则可能要做的第一件事就是弄清楚如何使用经典TM对其进行仿真，这将告诉您是否具有多项式时间转换或不。答案几乎肯定是肯定的，除了您的速度可能成倍地变慢（但不会更快-我们认为，除非是量子速度，否则可能）。