独特的正方形瓷砖

我们想要使用两种类型的图块来平铺 -square： -square tile和 -square tile，以便覆盖每个基础正方形而不会重叠。让我们定义一个函数，该函数使用平方和 ×任意数目给出最大的唯一可耕种正方形的大小。$m\times m$2 × 2 f （n ）n 1 × 1 2 × $1 \times 1$$2 \times 2$$f(n)$$n$ $1\times 1$$2 \times 2$

此功能可计算吗？什么是算法？

编辑1：根据史蒂文（Steven）的回答，唯一的平铺意味着有一种方法可以在 -square内放置 -squares ，并且对 -squares 的位置具有唯一的配置。 -square。m × m n 1 × 1 m × $2 \times 2$$m \times m$$n$ $1 \times 1$$m \times m$

这是一个论点，用于证明我的猜测，即对于任何非正方形都不存在这种唯一的平铺。首先，正如Sasho在评论中指出的那样，必须限制，因为如果或存在这样的。如果是一个完美的平方那么显然平方是唯一可平铺的，因此在这些情况下，清晰定义且非零。为了完善论点，仅剩下一点来说明，涉及或更多图块的平铺没有唯一的意义。Ñ Ñ ≡ 2 $n\gt 5$$n$$n\equiv2$$3\pmod 4$n = k 2 k × k f （n ）1 2 × $n$$n=k^2$$k\times k$$f(n)$$1$$2\times 2$

首先，考虑情况，假设。如果我们使用瓦片来平铺平方米，显然必须是偶数，例如；然后，我们可以通过建立一个构造拼接平铺的瓷砖，然后更换通过四个“块”的这些瓷砖。显然，除了或下，单个替换之外，不同的替换总是会导致不同的平铺n = 4 k m × m n 1 × 1 m m = 2 j j × j 2 × 2 k 1 × $n\equiv 0\pmod 4$$n=4k$$m\times m$$n\ 1\times 1$$m$$m=2j$$j\times j$$2\times2$$k$$1\times 1$m = 4 ，n = 4 2 × 2 2 × $m=4, n=12$$m=4, n=4$$2\times 2$剩下的图块或单个“四块”；但是，在这些情况下，存在另一种不等价的平铺，该平铺将 ×平铺放置在边缘的中间而不是角落。$2\times 2$

最后，假设，特别是假设（并且使用来防止出现一个琐碎的情况，即在正方形中根本没有“足够的空间”，以便下面的参数可以通过）。然后就没见方大小的或更可能是唯一平铺：考虑与平铺瓷砖穿过广场的顶部，向下方的权利（与任何额外的瓦只是塞在右侧-它们不会影响论点）。现在，正方形左上角的2 “块”（由顶部的两个磁贴和ñ = 4 吨+ 1 吨> 1 （2 吨+ 1 ）2 1 × 1 1 × 1 2 × 3 1 × 1 2 × 2 （2 吨+ 1 ）2（2 小号+ 1 ）2小号> 吨s 2 2 × 2 （2 s + 1 $n\equiv 1\pmod 4$$n=4t+1$$t\gt 1$$(2t+1)^2$$1\times 1$$1\times 1$$2\times 3$$1\times 1$$2\times 2$可以将其下方的图块“翻转”以生成与我们构建的图块必然不同的图块。最后，大小大于正方形完全不可平铺：假设我们尝试为划分大小为的正方形；然后根据信鸽原理，我们最多只能将图块放在正方形上，这意味着平方-但由于，，所以我们可以得到图块的数量。$(2t+1)^2$$(2s+1)^2$$s\gt t$$s^2\ 2\times 2$小号> 吨4 小号+ 1 > 4 吨+ 1 = Ñ 1 × $(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$$s\gt t$$4s+1\gt 4t+1=n$$1\times 1$

因此，对于，唯一存在的唯一平铺是根本不使用平铺，并且当为正方形时，仅为非零（在这种情况下，它等于）。2 × 2 ˚F （Ñ ）ñ $n\gt 5$$2\times 2$$f(n)$$n$$\sqrt{n}$