元素变化时计算逆矩阵

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给定矩阵。让的逆矩阵是（即，）。假设中的一个元素已更改（例如，更改）。目的是在此更改后找到。有没有找到一种比从头重新计算逆矩阵更有效的方法来找到这个目标。 $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

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— 阿杰德
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很好的答案：我找到了以下解决这个确切问题的论文：Sankowski，Piotr。“通过动态矩阵逆进行动态传递闭合”。计算机科学基础，2004年。会议记录。第45届IEEE年度研讨会。IEEE，2004

— 。–

如果论文以某种方式回答或解决了您的问题，可以添加答案！:)毕竟，注释可能随时被删除。

— Juho

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在谢尔曼-莫里森公式可以帮助：

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

让和，其中是标准的基础列向量。可以检查如果更新的矩阵是然后 $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Yuval Filmus
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$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— 亚当·W
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不错的答案，但这与上一本书的Yuval有何不同？

— 2013年

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A^{- 1}

$A^{-1}$