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从边按点距离加权的图形中恢复点嵌入
假设我给您一个带有加权边的无向图，并告诉您每个节点都对应于3d空间中的一个点。每当两个节点之间有一条边时，该边的权重即为点之间的距离。 您的目标是在仅提供可用距离（以边权重表示）的情况下重建点的相对位置。例如，如果我给您，那么您知道这些点是四面体的顶点。您不知道它相对于原点的位置，位置或方向，或者是否已被镜像，但是您可以知道它是四面体。d0 ，1=d0,2=d0,3=d1,2=d1,3=d2,3= 1d0，1个=d0，2=d0，3=d1个，2=d1个，3=d2，3=1个d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1 通常，如果我给您所有的边长，问题很容易解决。只需任意选择一个点在，然后选择一个相邻点并将其放置在，然后将一个公共邻居三角剖分到XY上平面，然后将最终的公共邻居三角剖分到半空间并打破了其余的对称性（假设您没有选择退化点）。您可以使用这四个点对所有其余的点进行三角剖分。（0 ，0 ，0 ）p 1（d 0 ，1，0 ，0 ）p 2 p 3 ž > 0p0p0p_0(0,0,0)（0，0，0）(0,0,0)p1p1个p_1(d0,1,0,0)（d0，1个，0，0）(d_{0,1},0,0)p2p2p_2p3p3p_3ž> 0ž>0z > 0 另一方面，当缺少一些边缘长度时，可能无法恢复嵌入。例如，如果有一个顶点在切割时使图形断开连接，那么如果移除了该顶点，它将分离的两个组件可能会相对摆动。 这就提出了问题： 找到解决方案的价格是多少？ 您如何确定解决方案是否唯一，直到平移/旋转/镜像？3连通性足够吗？必要？ 什么样的条件使问题变得微不足道？ 如果我不保证边缘权重实际上对应于点距sin 3d，那么确定是否完全可以嵌入的代价是多少？