DAG中边缘标记问题的精确算法

我正在实现某些系统部分，需要一些帮助。因此，我将其定义为图问题以使其独立于域。

问题：我们得到有向无环图。在不失一般性的前提下，假设恰好具有一个源顶点和恰好一个宿顶点；让表示集合来自所有定向通道的到在。我们也给出了一组顶点。问题是将非负整数权重分配给的边缘，因此，当且仅当它们包含相同的顶点子集时，中的任何两个路径才具有相同的权重 $G=(V,E)$ $G$ $s$ $t$ $P$ $s$ $t$ $G$ $R \subseteq V$ $G$ $P$ $R$ 。（路径的权重是其边缘的权重之和。）中路径的权重范围应尽可能小。 $P$

目前，我的方法似乎无效。我只是在寻找一些参考文献或一些好的见解。否则，任何其他事情都将受到赞赏。

编辑：这个问题有硬度证明吗？紧凑编号是否始终存在？

— 用户名
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请说明“ P中路径的权重范围应为最佳。” 权重只是整数吗？我们可以负重吗？最优意味着“尽可能小的范围”还是其他？

— Artem Kaznatcheev

我已经编辑了问题。谢谢你的评论。权重应为非负整数，并且范围应尽可能小。

— user5153'1

提出有效解决方案的简单策略是为R中的每个顶点v分配不同的2幂，使用该数字作为v的所有传入边的权重，并为所有其余边分配权重零。显然，这可能不是最佳选择，但它至少为所需范围提供了上限。使R中同一顶点的不同边具有彼此不同的权重是否有所改善，还是可以通过使权重与顶点而不是边一起使用来简化问题？

— David Eppstein'2

BTW @DavidEppstein的答案表明，路径的最大总重量为

。这与常量紧密相关。例如，您可以采用图

，

和

O (2^{| R |})

$O(2^{|R|})$

G = (V, E)

$G = (V, E)$

V = [n] \cup {s, t}

$V = [n] \cup \{s, t\}$

。令

。有

上不同路径

，和由于每个路径具有非负整数的重量，的至少一种需要具有重量的至少

。

E = {(i, j) : i < j} \cup {(s, 1), (n, t), (s, t)}

$E = \{(i, j): i<j\} \cup \{(s, 1), (n, t), (s, t)\}$

R = [n]

$R = [n]$

2^{n}

$2^n$

R

$R$

2^{n} - 1

$2^n -1$

— Sasho Nikolov

当然，在最坏的情况下，我的意思是严格的（我实际上是在此评论的第一个版本中写了这条，但丢失了）。我认为最好先确定一些绝对界限，因为还没有人解决优化问题。

— Sasho Nikolov

-6

尚未在文献中确切地听说过这个问题（也许有人听说过），但是作为“附近的问题”，在我看来，最小生成树将具有解决您的问题的有用属性。例如，可能生成两个最小生成树，这些最小生成树从源顶点和同步顶点开始，并向外传播，直到它们接触为止，等等，这可能会解决问题或给出明确的答案。在有人让我对此理解之前，我正在扩展MST的概念，以从给定的顶点开始生成[通常从整个图形的最短边开始]。如果它不起作用，我会好奇的原因。

— z
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抱歉，但我认为此答案与这个问题无关。

— David Eppstein '02

也许您有一个更好的主意，他在说什么？如上所述对您有意义吗？

— vzn 2012年

他需要为边缘分配权重。计算MST将如何帮助您？

— Nicholas Mancuso

可以阅读，并且没有其他人提出答案，看来问题可以转换为两个部分：（1）根据标准/限制分配权重，（2）根据这些权重找到最短路径。似乎MST在（2）上可能有用。或者可能不是！（例如，可能1/2是紧密耦合的）

— vzn 2012年

否。最小生成树仅适用于无向图。输入图是有向的。此外，最小生成树仅在表面上与最短路径相关。

— Jeffε