关于带宽最小化的复杂性

图形带宽问题定义如下。给定图，一个布局的是一一对一映射的顶点的到整数。的带宽定义为 $G=(V,E)$ $f$ $G$ $G$ $\{1, \ldots, |V|\}$ $f$

$bw(f) = \max \{|f(u) - f(v)| \mid \{u,v\} \in E\}$

的带宽（ $G$ 表示为 $bw(G)$ 定义为布局的最小带宽，该最小带宽适用于所有可能的布局。

决策问题是：给定一个图 $G$ 和一个整数 $k$ ， $bw(G) \le k$ 吗？

即使对于最大度数为三的树木，此问题也是已知的NP完全问题[ 带宽最小化的复杂性结果]。Garey，Graham，Johnson和Knuth，SIAM J. Appl。数学卷 [1978年第34号第3号]。作者表明，一个人可以测试图在多项式时间内是否最多具有两个带宽。的外壳 $bw \le 3$ 已打开。

案件的复杂性 $bw \le 3$ 已知吗？当 $k$ 不是输入的一部分而是一个至少为的固定常数时，我们对问题的复杂性了解 $4$ 多少？

引用会很好。

cc.complexity-theory

— 颂歌
source

对于所有，带宽问题都是 -hard 。Bodlaender等人的研究表明了这一点。在“超出NP完全性以解决有界宽度的问题”中。见论文。 $W[t]$ $t$

另一方面，还已知对于任何，可以在时间内确定给定图是否具有最多带宽。这意味着中存在带宽问题。请参阅Saxe 的另一篇论文。 $k$ $k$ $O(f(k)n^{k+1})$ $XP$

— 太田洋太
source

是的，但这不能回答我的问题。该问题可能是对的情况下多项式时间可判定

，仍然为各阶层很难

-hierarchy。

b w \leq 3

$bw \le 3$

W

$W$

— Somnath

好吧，我的回答还不是很完整。还已知的是，对于任何

，一个给定的图是否具有带宽至多

可以在决定

时间，以任何

。这意味着带宽问题在

。请参阅Saxe的另一篇论文（dx.doi.org/10.1137/0601042）。这是否可以回答您问题的其余部分？

k

$k$

k

$k$

O (f (k) n^{k + 1})

$O(f(k) n^{k+1})$

k

$k$

X P

$XP$

— 大田洋太（Yota Otachi）

我认为萨克森（Saxe）的论文完全回答了这个问题。您可以编辑答案以包括它吗？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

是的，它确实回答了我的问题。非常感谢。

— Somnath

通过单击我的答案左侧的复选标记:-)

— Yota Otachi 2012年