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编辑（作者塔拉·B）：我仍然希望提及这一证明，因为我必须自己为自己的论文证明这一点。

我正在寻找本文中出现的定理4的证明：

刘和韦纳的无上下文语言交叉口的无限层次。

定理4：一种维仿射歧管是不表达为仿射歧管的有限联合其中的每一个是尺寸ñ - 1或更小。$n$$n-1$

1. 有人知道参考证明吗？
2. 如果流形是有限的，并且我们在元素上定义了自然顺序，那么关于晶格是否有任何类似的陈述？

了解该定理的一些背景：

定义：设为有理数的集合。一个子集中号⊆ Q Ñ是一个仿射歧如果（λ X + （1 - λ ）Ý ）∈ 中号时，，和。$\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

定义：如果对于一些，则仿射流形被认为与仿射流形平行。$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

定理：每个非空仿射歧管平行于独特子空间。该由$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

定义：该尺寸非空仿射歧管的平行于它的子空间的维数。

从直觉上说，该定理说线不是点的有限并集，平面不是线的有限并集，等等。最简单的证明是，例如，观察到线的有限并集具有零面积，而飞机没有。

更具体地讲，观察到足以通过传递给上的流形，来证明它们对它们的要求。考虑由线性系统的解集给出的形；它的封闭将恰好是同一系统的一组解决方案，因此此步骤不会影响所涉及歧管的尺寸。同样，有限联合的闭合等于闭合的联合。$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

现在请注意，维的流形的维Lebesgue测度为空。因此，此类流形的有限联合的维Lebesgue测度仍然为零。但是维流形的维度量是无限的，因此非零。$d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

至于第二个问题，我不太清楚你的意思。但是，如果基本字段是有限的，则任何维仿射流形都包含个点。因此，通过类似的计数参数，您至少需要尺寸的仿射空间覆盖尺寸的仿射空间。$\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

这是一个无度量证明，适用于任意无限场仿射流形（对于有限域，结果为false）。$\mathbb F$

通过对，我们将显示尺寸为形不是尺寸小于形的有限并集。$n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

对于该语句很清楚：点不是空集的（有限）并集。$n=0$

假设该语句对成立，我们将对。设，其中和。考虑一个任意仿射子流形尺寸的。由于，归纳假设意味着对于某些，即。由于只有集合，并且是任意的，因此得出结论，仅具有维有限子流形$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$$\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$$A$$n$$B_0$$v$$A$$B_0$$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$