行列式模

什么是用于计算与系数的整数矩阵的行列式的已知有效的算法，残基的环模米。数米可能不是素数，但复合材料（以便计算在环执行，而不是一个场）。$\mathbb{Z}_m$$m$$m$

据我所知（请参阅下文），大多数算法都是对高斯消去算法的修改。问题是这些程序的计算效率。

如果碰巧有其他方法，我也对此感到好奇。

提前致谢。

更新：

让我解释一下这个问题的根源。假设，是质数。因此Z m是一个场。在这种情况下，我们可以使用小于m的数字执行所有计算，因此我们对数字的所有运算都有一些不错的上限：加法，乘法和求逆---运行高斯消除所需的所有运算。$m$$\mathbb{Z}_m$$m$

另一方面，在不是素数的情况下，我们无法对某些数字进行求逆。因此，我们需要一些技巧来计算行列式。$m$

现在，我很好奇完成这项工作的已知技巧是什么，以及是否可以在书籍和论文中找到这些技巧。

如果你知道的因式分解你可以计算模每个p è 我我分开，然后用中国剩余相结合的结果。如果e i = 1，则计算模p e i i很容易，因为这是一个字段。对于更大的e i，可以使用Hensel提升。 $m = p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}$$p_i^{e_i}$$e_i = 1$$p_i^{e_i}$$e_i$

Mahajan和Vinay有一种组合算法可以在交换环上工作：http : //cjtcs.cs.uchicago.edu/articles/1997/5/contents.html

为了解决这个问题，有一种基于史密斯范式的快速确定性算法，该算法的最坏情况下的复杂度在整数模的矩阵相乘成本上限较高。对于任何矩阵A，算法都会输出其Smith正规形式，从中可以轻松计算det （A ）。$m$$A$$\text{det}(A)$

$\omega$$n \times n$$\mathbb{Z}_m$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

$A\in \mathbb{Z}_m^{n \times n}$$\text{det}(A)$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

当这是在1996年写的时候，没有渐近地更快的选择（本文提到了以前存在相同边界的算法，但我不知道哪些算法是概率性的）。

$m$$m$

$O(\log^2 m)$$O(M(\log m)\log \log m)$$M(t)$$t$$\omega$