超越数的可判定性

我有一个问题，这个问题的答案可能是众所周知的，但是经过一番搜索，我似乎找不到任何有意义的东西，因此，我希望能提供一些帮助。

我的问题是，是否知道确定数字是否超验是不确定的。

可能，假设一个程序作为输入，例如返回数字的第i位的程序。在此先感谢您提供任何指导。

computability computable-analysis

— ipsofacto
source

如果实数是由计算给定位的程序或计算有理近似值的程序或任何类似类型的程序表示的，那么唯一可确定的实数集就是琐碎的集（即那些包含所有可计算实数或不包含可计算实数的实数集），根据赖斯定理。

— EmilJeřábek2012年

暗示如何显示？

$\:$

Answers:

克里斯托弗的解可以用来表明，假设实数被表示，这样我们就可以计算可计算的柯西数实数序列的极限。回想一下一个序列 $(a_n)_n$ 如果有可计算的地图，则可计算为柯西 $f$ 这样，给定任何 $k$ 我们有 $|a_{m} - a_{n}| < 2^{-k}$ 对所有人 $m, n \geq f(k)$ 。实数的标准表示就是这样，例如，其中实数是由一台计算任意良好的有理逼近度的机器表示的。（我们也可以用计算位数来表示，但是我们必须允许负数。这是实数的可计算性理论中的一个众所周知的问题。）

定理：假设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 是一个子集，因此存在可计算的序列 $(a_n)_n$ 可计算的是柯西及其极限 $x = \lim_n a_n$ 在之外。然后问题“是实数是的元素”是不确定的。 $S$ $x$ $S$

证明。 假设是可确定的。给定任何图灵机，请考虑定义为的序列很容易检查是可计算的柯西，因此我们可以计算其极限。现在我们有当且仅当暂停，所以我们可以解决停机问题。QED。 $S$ $T$ $b_n$

b_{n} = {\begin{cases} a_{n} & if T has not halted in the first n steps, \\ a_{m} & if T has halted in step m and m \leq n . \end{cases}

$b_n = \begin{cases} a_n & \text{if $T$ has not halted in the first $n$ steps,}\\ a_m & \text{if $T$ has halted in step $m$ and $m \leq n$.} \end{cases}$

b_{n}

$b_n$

y = lim_{n} b_{n}

$y = \lim_n b_n$

y \in S

$y \in S$

T

$T$

有一个对偶定理，其中我们假设序列在之外，但其极限在。 $S$ $S$

满足这些条件的集合示例是：开区间，闭区间，负数，单例，有理数，无理数，先验数，代数数等。 $S$ $\lbrace 0 \rbrace$

不满足定理条件的集合是由非可计算数转换的有理数的集合。练习：是可决定的吗？ $S = \lbrace q + \alpha \mid q \in \mathbb{Q}\rbrace$ $\alpha$ $S$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
source

感谢您的回复。仅作澄清，定理是否说如果集合S在S之外至少有一个极限点，则确定元素x是否在S中不确定。然后，我对示例中的关闭间隔感到困惑。

— ipsofacto 2012年

封闭区间后面跟随对偶定理，在该对偶定理中，您采用之外的序列，其极限在。

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer'3

这是什么意思为是“外 computably”（而不是“外部 ”）？

x

$x$

S

$S$

S

$S\hspace{.01 in}$

$\:$

$\;\;$

那是一个错字。我感谢它，谢谢。否则，“可计算地位于之外”可能意味着“对于每个我们可以计算一个正有理，使得 ”，即语句“ “。但是，如果你相信马氏原则，那么你可以通过只知道重建这样的地图不是，所以在这种情况下，有间“以外没有任何区别和‘computably外。’

x

$x$

S

$S$

y \in S

$y \in S$

q

$q$

d (x, y) > q

$d(x,y) > q$

\forall y \in S . \exists q \in Q . 0 < q < d (x, y)

$\forall y \in S . \exists q \in \mathbb{Q} . 0 < q < d(x,y)$

x

$x$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— 安德烈·鲍尔

给定一个图灵机，定义图灵机如下表示多个：在输入运行为在空输入步骤。如果停止，则输出。否则输出第位。 $M$ $M'$ $i$ $M$ $i$ $M$ $0$ $i$ $\pi$

— 克里斯托弗·阿恩斯费尔特·汉森
source

该组的超越数不处于打开（尤其是，它是致密的和codense在，因此它是不可判定。 $\mathbf R$ $\mathbf R$

— 戴维·哈里斯
source

可计算的实数的集合在不是开放的（特别是在是密集的和可编码的），但它是可确定的。

R

$\mathbf{R}$

R

$\mathbf{R}$

$\:$

瑞奇，这不是事实。给定一个用于实数的oracle，您无法确定它是否可计算。

— 大卫·哈里斯

通过总是回答“是”的算法，我给出的集合是可确定的。您的第二句话表明，我给出的集合不是可判定的第二类。

$\:$

$\;\;$

@Ricky Demer：可计算实数的集合在两种意义上是不可确定的：（1）给定任意索引，确定是否是计算可计算实数的图灵机的索引。（2）给定任意快速收敛的柯西序列，确定它是否为可计算序列。没有可确定的可计算实数集可决定的常识。

e \in N

$e \in \mathbb{N}$

e

$e$

— 卡尔·默默特

@Carl：有一个算法来给定的索引这是一个图灵机，计算可计算的真正的指标，决定是否是图灵机的，计算的索引可计算的实数。这是实数集可判定性的唯一有趣的意义，因为您的（1）完全由没有可计算实数的集满足，而您的（2）完全由满足和。

e \in N

$\: e\in \mathbb{N} \:$

e

$e$

$\hspace{.1 in}$

$\;\;$

$\hspace{.2 in}$

$\hspace{2.2 in}$

{}

$\: \{\} \:$

R

$\mathbf{R}$

$\;\;\;$