等值简单但很难找到班级代表的例子

假设我们有一类对象（例如图形，字符串），并且在这些对象上具有等价关系。对于图，这可能是图同构。对于字符串，如果两个字符串彼此相似，则可以声明两个字符串相等。

我对计算等效类的代表感兴趣。也就是说，我想要一个函数f（），以便对于任何两个对象x，y，f（x）= f（y），如果x和y是等效的。（*）

以字谜为例，f（s）可以对字符串中的字母进行排序，即。f（'cabac'）='aabcc'。对于图同构，我们可以将f（G）设为与G同构的图G'，这是词典上第一个具有此特性的图。

现在的问题是：是否存在一个示例，其中确定两个元素是否相等的问题是“容易的”（可解决多时间问题），而寻找代表是困难的（即，没有用于计算满足以下条件的f（）的多时间算法： *））。

好的，怎么样：如果x = y或x和y都具有因式分解x = p q和y = p r，则$x$和$y$相等，其中p，q和r都是素数，p < min （q ，r ）。也就是说：两个素数的乘积共享最小的素数因数就相等；其他数字仅等同于自己。$x=y$$x$$y$$x=pq$$y=pr$$p$$q$$r$$p < \min(q,r)$

测试两个不同的数字是否相等很容易：计算它们的gcd，测试其是否平凡，测试gcd是否小于辅因子，以及测试gcd及其辅因子是否都是质数。

但是如何在多项式时间内计算代表性函数尚不明显，如果您添加f （x ）必须等于x的要求，那么任何代表性函数都将允许我们分解两个素数的大多数乘积（每个不是自己的代表）。$f$$f(x)$$x$

两个整数 MOD Ñ是等价的，如果X 2 ≡ ý 2 MOD Ñ。如果可以轻松地计算出代表该函数的类，则可以在概率多项式时间内进行分解。$x,y$$n$$x^{2} \equiv y^{2}$$n$

一般情况下，这样的例子将意味着。假设R是在多项式时间内可确定的等价关系。然后，通过使用N P oracle 的字典式搜索，可以在任何字符串的等价类中找到字典上最小的元素。如果P = N P，这将成为多项式时间，因此您可以使用按字典顺序最小等效的字符串作为类的代表。这种观察最初是由于Blass和Gurevich [1]造成的。$P \neq NP$$R$$NP$$P=NP$

这样的例子还意味着（并且因此，在particluar，P ≠ Ú P）。$UP \not\subseteq BQP$$P \neq UP$

您所问的问题正是我们所说的在我们与兰斯·福尔瑙[2]的纸张。该论文还包括我在这里说明的结果，以及Peter Shor指出的哈希函数示例，其他一些可能的示例以及相关的结果和问题。$PEq =? Ker(FP)$

[1] Blass，A.和Gurevich，Y. 等价关系，不变式和范式。SIAM J.计算。13（4）：682-689，1984。

[2] Fortnow，L.和Grochow，JA 重新讨论了等价问题的复杂度类。通知。和计算。209（4）：748-763，2011。也可在arxiv上找到。

“代表”必须在同等级别吗？

如果是这样，则采用具有抗冲突性的任何具有加密功能的哈希函数。$f$

让如果˚F （X ）= ˚F （Ý $x \simeq y$$f(x) = f(y)\,$。测试两件事是否相等很容易，但是如果给定，您可以找到h的规范原像，则可以找到两个字符串x和y，使得f （x ）= f （y $f(x) = h$$h$$x$$y$$f(x)=f(y)\,$。这应该很难（这就是抗碰撞性的意思）。

当然，计算机科学家无法证明存在具有抗碰撞能力的密码学强哈希函数，但是他们有很多候选对象。

首先，您真正要求的通常称为完全不变式。甲规范的或正常的形式也要求$f(x)$是相当于$x$的所有$x$。（要求“代表人”有点模棱两可，因为有些作者可能认为这包括规范形式的条件。）

其次，请原谅无耻的自我提升，但这正是Fortnow和我致力于的问题之一[1]。我们表明，如果可以在$\mathsf{P}$中确定的每个等价关系在$\mathsf{FP}$也具有完全不变性，那么就会发生不好的事情。特别地，这将意味着$\mathsf{UP} \subseteq \mathsf{BQP}$。如果该语句的一个承诺版本成立（见定理4.6）然后$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{BQP} \cap \mathsf{SZK}$和$\mathsf{PH} = \mathsf{AM}$。

现在，如果您实际上想要规范形式（也属于等效类的每个等效类的代表），我们将展示更糟糕的情况发生。也就是说，如果在多项式时间内可确定的每个等价关系都具有多项式规范形式，则：

• 整数可以考虑概率乘积时间
• 可以在$\mathsf{FP}$评估的无冲突哈希函数不存在。
• $\mathsf{NP} = \mathsf{UP} = \mathsf{RP}$（因此$\mathsf{PH} = \mathsf{BPP}$）

由于我们以及Blass和Gurevich [2]，对于有关等价关系的大多数陈述，也有甲骨文采用双向方式。

如果您代替“任何”代表，而要求等价类中的词典上最小的元素，则找到等价类中按词典上最小的元素可以是$NP$ -hard（实际上是$P^{NP}$ -hard）-即使该关系具有多项式时间规范形式[2]。

[1] Lance Fortnow和Joshua A. Grochow。重新讨论了等价问题的复杂性类。通知。和计算。209：4（2011），748-763。也可以作为arXiv：0907.4775v2获得。

[2] Andreas Blass和Yuri Gurevich。等价关系，不变式和范式。SIAM J.计算。13：4（1984），24-42。

这是另一个答案的尝试，我们放宽了对“代表”的要求；实际上，它不一定是等效类的成员，而只是一个标识等效类的函数。

假设您有一个可以进行子组成员资格测试的组。也就是说，给定$g_1, g_2, \ldots, g_k$，可以检查是否在由g 1，... ，g k生成的子组中。$h$$g_1, \ldots, g_k$

将等价类作为元素集生成相同子 1，g 2，… ，g k的。检查两个集合是否生成相同的子组很容易。但是，目前还不清楚如何为每个子组找到唯一的标识符。我怀疑如果您假设黑盒组具有子组成员资格测试，那么这确实是一个示例。但是，我不知道是否有任何非Oracle组似乎很难解决此问题。$g_1, g_2, \ldots, g_k$

这是一个人为的例子。对象是对$(H,X)$，其中$H$是SAT公式，$X$是建议的变量分配。如果H = H '并且（a）X和X '都满足分配，或者（b）X和X '都不满足分配，则说$(H,X) \sim (H',X')$。这是自反的，对称的和可传递的。每个不满意$H=H'$$X$$X'$$X$$X'$$H$具有一个由所有$(H,X)$组成的等价类。每个可满足的$H$都具有所有$(H,X)$的类别，其中$X$是令人满意的分配，而另一个类别具有不令人满意的类别。

检查是否$(H,X) \sim (H',X')$是容易的，因为我们只是检查，如果$H=H'$，那么如果$X$满足$H$，那么如果$X'$满足$H$。但是要计算给定（H ，X ）类的规范成员$(H,X)$且$H$满足$X$似乎太难了（我不确定如何最好地证明硬度）。我们可以轻松地为SAT实例添加一个额外的解决方案，因此知道一个解决方案通常不会帮助我们找到任何其他解决方案，更不用说选择典型的解决方案了。（编辑：我的意思是，在给定第一个解决方案的情况下，我不希望有任何有效的算法来找到其他解决方案。因为我们可以通过首先将“额外”解决方案“植入”问题，然后将其提供给问题来使用它来解决SAT问题。算法（请参阅注释。）

这是一个悬而未决的问题，至少对于图形而言。我相信最新的进展是

Babai和Kucera，“线性平均时间图的规范标注”，FOCS，1979年

这给出了一个（预期）线性时间的规范图形算法，该算法是用概率正确$1 - \frac{1}{2^{O(n)}}$

您可以在Wikipedia上阅读更多内容。请注意，Babai算法的去随机化版本意味着图不存在此类示例。

Testing whether two circuits of size $\leq N$ circuits are equivalent.

To determine if $C_1 \sim C_2$ you only need to evaluate at the $2^n$ input points. To determine a class representative, one would probably have to test all $2^{\Omega(N \log N)}$ possible circuits. For $N$ sufficiently large this is exponentially harder than testing circuit equivalence.

A famous example from descriptive set theory:

Let us define an equivalence relation $\sim$ on $\mathbb R$ by

This is a rather "easy" equivalence relation, in particular it's measurable.

But finding representatives amounts to finding a Vitali set, which requires the Axiom of Choice and cannot be measurable.

Let the objects in your universe be the triples ($\Phi, b, i)$ where $\Phi$ be a Satisfiability problem, on variables $x_0, \ldots, x_{k-1}$, $b$ is either 0 or 1, and $i$ is a bitstring of length $k$, where $\Phi(i)=b$. That is, $i$ is an assignment to $x_0, \ldots, x_k$ that satisfies $\Phi$ if $b$ is 1 or does not satisfy $\Phi$ if $b$ is 0.

Two objects are equivalent if they have the same $\Phi$. Easy to check.

Let the representative object be the lexicographically greatest among all in the equivalence class.

The representative is NP-complete to find: it would solve SAT, since if the lexicographically greatest has $b=0$, then $\Phi$ is unsatisfiable; if it has $b=1$, it is satisfiable.

Seems that most NP-complete problems can be posed this way; it's a matter of placing the certificate of membership into the encoding of the element.

I thought maybe this was a homework problem, which is why I didn't post the solution earlier. I should have done; I could have used those points that @david-eppstien got. Goodness knows, he doesn't need them.

I suppose you can easily achieve that for virtually any problem of the type you describe.

Trivial example: Suppose objects are strings, and any $x$ is equivalent to only itself. Determining whether two elements are equivalent is always easy (it is simply equality). However, you can define $f()$ as your favorite injective hard function.