为什么我们使用单磁带图灵机来增加时间复杂度？

如您所知，当时间为时，单个磁带图灵机有很多异常情况：多带TM模拟，仅的较大带字母模拟，时间可构造性，时间等级定理的非紧性，... $o(n^2)$ $\{0,1,b\}$

还可以得到，以及针对特定问题的非常特定于模型的时间下限（甚至不能转换为两个上的超线性下限磁带TM）。 $\mathsf{DTime}(o(n\lg n)=\mathsf{Reg}$ $O(n^2)$

对于空间复杂性，我们使用一个模型，在该模型中，我们有一个单独的只读输入磁带，这更加自然且健壮。

带有多个磁带（或至少2个工作磁带）的TM模型将更加健壮，并且不会导致像我上面列出的那些异常。我曾经问过一位杰出的复杂性理论家，他在复杂性理论的早期阶段就已经证明了模拟结果，是否他知道对这些旧结果之一有任何改进，并且回答是他不认为“关于一个磁带模型的问题是重要”。

如果将时间复杂度的标准模型更改为两个磁带TM，则复杂性理论的合理结果将不会改变，并且可以避免由特定模型引起的这些异常。所以我的问题是：

为什么仍然要根据单个磁带TM定义时间复杂度？（除历史原因外）

cc.complexity-theory turing-machines

— 卡韦
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我从未见过单个磁带TM定义的时间复杂性。我只看过单个磁带TM定义的健壮的时间复杂度类。

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@Ricky，我的意思是，问题的时间复杂度是根据可以解决问题的单个磁带TM的时间复杂度定义的。

— 卡夫

我的意思是我从未见过如此。我一直至少看到随机访问。

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但这真的是通常的定义吗？我在教科书中看到的是：1）定义单个磁带图灵机（因为它更简单）；2）显示如何扩展到其他变体，特别是多带和随机访问；3）证明所有这些都可以相互模拟，但多项式的速度最多。4）至少在我们需要更细微的东西（例如oracle机器和logspace简化）之前，立即将大部分时间忘掉该模型；因此，就像@RickyDemer一样，我会质疑这种说法确实是通常的定义。

— Sasho Nikolov

我没有答案，但是，我只想向Yamakami（springerlink.com/content/u844854721p83870）指出这项工作。本文讨论了将建议添加到小型机器（即线性一次性磁带TM）时会发生的情况。它证明了几种类别的分隔，但是使用这些单带TM可以做到。如果您使用其他TM，则这些分隔符将无效。我认为这是一个很好的示例，在该示例中，您可以使用一卷磁带证明很酷的东西，而使用其他模型则可能无法证明。道德是“当您处理细微的事物时，一键式磁带很重要”。

— Marcos Villagra

Answers:

其他答案看起来很好。我想分享罗素·因帕格利亚佐（Russell Impagliazzo）几年前在一次演讲中发表的评论，此后一直困扰着我。

我认为由于物理上的合理性，图灵可能更喜欢使用单个磁带TM。

我几天前就向Russell指出了这个话题，但是，鉴于他不在这里，我希望知道他的评论，并会尽力解释它。

对于单个磁带TM，假设无限长的磁带（请坚持使用），您可以构建一个TM，每次迭代只需要有限的能量。想象一下磁带是一条长杆，而包含所有TM逻辑的磁头只是沿着该杆移动。（我认为这是使用非常原始的技术的一种可爱的小齿轮装置。杆上可以有槽口来帮助它，带状单元的内容物可以是垂直于杆轴垂直滑动的一个块。）

另一方面，您如何针对胶带TM 执行此操作？如果你有 $k$ $k$ 在上述情况中，它们必须将其读取状态传达给可能非常遥远的其他磁头，这需要消耗无限量的能量（例如，您使用的导线可能会散发热量），而且不是瞬时的，因此使该机制变得复杂。相反，如果您将磁头保持在一起并在其下方移动磁带，那么您将使用足够的能量来移动无限长的磁带。.在两种情况下，我都看不到如何获得有限的能量。像缩小磁带增量（以获得有限长度）之类的技巧假设一个无限可整的宇宙，并且违反了诸如普朗克常数和全息原理之类的东西。即使忽略这些，头部中的机构也必须任意精确，这又会导致能源问题，并且非常复杂。

当然，第一种方案存在问题：无限带的构造具有无限多个凹口，向移动头上的太阳能收集器供电的无限多个太阳，无限供应的清洁和维护用品等。也许是量子力学的一些重大突破可以让磁带的头很好地沟通，但是现在看来我们的装备有多复杂。无论如何，我认为拉塞尔的评论非常非常有趣。 $k$

— 马图斯
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我以为Turing试图抽象化“计算”的概念，而不是抽象物理设备的模型。在这种情况下，单带Turing机器会清晰地捕捉到计算涉及本地访问大型（无限）内存的哲学直觉

— Sasho Nikolov 2012年

我期待理论上的原因（而不是模型的可实现性），但是我发现这个答案非常有趣，因此我接受了。再次感谢。

— 卡夫

将磁带头保持在适当的位置，似乎可以通过设计一种Hennie-Stearns结构的形式使总能量在时间上呈对数线性，或者希望不比准线性差。我正在想象磁带在向任一方向延伸时都变成越来越大的循环……或更富想象力的是，在磁带卷轴上，将100个磁带缠绕到一个卷轴上，将100个卷轴缠绕到一个机架上，再将100个机架缠绕到一个仓库上，再等等。上。当然，对于每次迭代的有限能量，我们需要时间上线性的总能量。但是准线性比幼稚的二次方好，所以我想我会提一下。

— Dan Brumleve

我已经看到文本使用多带Turing机器定义TIME（），但是Sipser使用单带机器。您几乎肯定会首先通过Sipser遇到此材料，因为它的编写是如此出色。 $f(n)$

Sipser这样做的原因有很明确的教学原因，即课程自然就这样流动，因为：

您应该在多带机之前引入单带机，否则会使学习曲线变陡。
在引入单磁带机的O（）和TIME（）之前，没有令人信服的理由引入多磁带机。 $\cdot$ $\cdot$
理想情况下，当您介绍多带机时，您应该将多带机与单带机进行比较，否则长时间的无知将导致更多的混乱。
您可以省略为多带机引入类似的TIME类，从而简化整体表示法。

当教学法如此清楚地表明最简单的方法时，没有理由去质疑概念的清洁性，每个计算机科学专业的本科生都必须走这门基础课程，包括所有仍然不了解证明的人。

— 杰夫·伯吉斯
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不，IIRC，我第一次接触TM是Hopcroft和Ullman的第一版。但是我问这个问题的原因实际上与Sipser的好教科书有关，我讲授基于Sipser的复杂性理论，并且我认为如果基于多方面的知识，对我和学生来说，它将更简单，更简洁（不会丢失基本材料）磁带TM。避免了所有有关单个磁带TM受限制访问的小技术细节，我可以在有限的时间内覆盖更多有趣的材料。Sipser对于使用Church-Turing论文感到放松，

— Kaveh'4

所以我认为对此部分放松也可以。在时间层次定理部分中，他提到如果我们有多个磁带，则不需要额外的对数因子，这将非常紧凑。这使我开始询问是否由于时间复杂性而使用单磁带TM是否存在任何非历史性的原因。这不比使用单独的只读磁带来解决空间复杂性（这又是最主要的原因，这主要是因为单个磁带TM不能很好地捕获有关小型空间复杂性类的直觉）。

— 卡夫

如果没有单独的输入磁带，我什至看不到亚线性空间界限的意义。

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是的，我认为SPACE的处理方式有所不同，部分原因是您将执行亚线性边界，而您可能不会在TIME这样做。如果您希望以此方式为时间下标或为Sipser为SPACE做任何事情，我肯定会说，当然我想在多带机之前谈论TIME或TIME_1或其他事情。

— 杰夫·伯吉斯

有趣的是，Sipser在定义SPACE（f（n））时仅说“ Turing machine”，但后来在讨论次线性函数f时更改了定义，并指定了超级线性f的等效性。我以前从Sipser教过这种材料。当时我并没有考虑太多，但是现在我对此感到高兴。

— 杰夫·伯吉斯

最初的图灵机是用单个胶带描述的：

www.cs.ox.ac.uk/activities/ieg/e-library/sources/tp2-ie.pdf

因此，正如您在问题中指出的那样，这主要是出于历史原因。此外，总会有人问什么是可以做某事的最简单的模型...

同样，由于通常会非常正式地讲授此主题，因此从技术上讲，描述一台磁带机比两台磁带机更容易。

也可以看看：

http://www.cs.utah.edu/~draperg/cartoons/2005/turing.html

— 萨里尔·哈皮德（Sariel Har-Peled）
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