对偶中的一对不相交的同素循环是否将图形分开？

令是嵌入在属的可定向紧致表面上的图，这样嵌入是蜂窝的。考虑图对偶。令和为彼此中的不相交循环，令和分别为其在的对应边集。是断开的图？$G$$g$$G^*$$C_1$$C_2$$G^*$$E_1$$E_2$$G$$G \setminus (E_1 \cup E_2)$

是。让我为嵌入和的表面写。$\Sigma$$G$$G^*$

由于循环和是同位的，因此它们也属于同一 _2-同源类。因此根据定义，对称差是面的某些子集的并集的边界；打电话的面孔这个联盟。（实际上，或其补码必须是一个环，但这并不重要。）$C_1$$C_2$$\mathbb{Z}_2$$C_1\oplus C_2$$G^*$$U$$U$$\Sigma\setminus U$

因为和不相交，所以对称差等于并集。特别是，我们有，这意味着及其补码都是非空的。换句话说，地下断开。$C_1$$C_2$$C_1\oplus C_2$$C_1\cup C_2$$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$$U$$\Sigma\setminus U$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$

任何路径都可以看作中的路径，它避免了的顶点，反之亦然（直到同伦）。因此，的（图形）分量与的（表面）分量双射对应。我们得出结论，已断开连接。$G$$\Sigma$$G^*$$G\setminus (E_1\cup E_2)$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$$G\setminus (E_1\cup E_2)$

是可定向的这一假设从未使用过。$\Sigma$