量子计算-QM假设

我刚刚从Nielsen-Chuang的书中开始（独立）学习量子计算。

我想问问是否有人可以尝试找时间帮助我解决量子力学的假设问题。我的意思是，我不是要质疑这一假设。只是我不知道测量后的系统状态值如何达到$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$。

尽管这只是假说所要表达的意思，但我觉得为什么要使用这种表达确实很尴尬。我不知道我在这里问的话是否有意义，但是事实证明这是出于某种原因使我无法继续阅读的东西，

我不知道这是否是一个“解释”，但希望它是一个有用的“描述”。

比投影测量更笼统地说，总是测量操作员。（投影仪是这种情况的特例。）那么“测量操作员”是什么意思？

好吧，操作员通常对应于“可观察”的物理量。例如，量子力学中最重要的是能量。但是人们也可以（有时间接地）测量其他量，例如角动量，磁场的z分量等。被测量的物体总是给出实数值的结果---原则上，某些确定的结果（例如，电子是处于“自旋+1/2”状态而不是“自旋-1/2”状态，或者处于第一激发能级而不是氢原子中的基态等），尽管每个结果都是先验的是有可能实现的。

我们将度量的每个实值结果分配给一个子空间。我们这样做的方式是描述赫米特运算符--- 即其相关联的实际特征值到不同的子空间的运营商，与子空间总结整个希尔伯特空间。投影仪就是这样的运算符，其实际值为0和1；即描述向量属于指定的子空间（值为1）或它的邻补码（值为0）。这些Hermitian算符是可观测的，本征空间是可观测的具有“确定”值的特征空间。

但是那些不是本征向量，并且对这些可观测值没有“确定”值的向量呢？这是描述的非解释性部分：我们将它们投影到一个特征空间中，以获得具有明确定义值的特征向量。我们采用哪种预测是随机确定的。概率分布由熟悉的Born规则给出：

$$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$$

其中是投影到Ç一个“可观察到的量”的-eigenspace é（由赫米特运算符表示甲= Σ $\Pi_c$$A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$$|\psi\rangle$$| \psi_0 \rangle$$| \psi_1 \rangle$$\Pi_c$

$$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$$

通过刚刚描述的投影规则。这就是为什么您的公式中有投影仪的原因。

通常，向量不是单位向量; 因为我们希望用另一个单位矢量来描述测量后的状态，所以必须通过$| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

$$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$$

这是结果先验出现的概率的平方根。因此，我们恢复了您问题中的公式，

$$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$$

（如果这个公式看起来有些笨拙，请放心，如果用密度算子表示量子态，它的外观和感觉会更好一些。）

编辑添加：以上内容不应解释为对POVM的描述。A“正算值测量”被更好视为描述期望值的各种可测量的可观测量Ë _Ç在收集{  ë _Ç  } _{Ç  ∈C}  。

我将为阿卡什·库马尔（Akash Kumar）的问题再提供一个答案，即（特别是对学生而言）解决量子力学之谜的一种好方法是首先解决经典力学的奥秘。

在这方面，斯蒂芬妮·弗兰克·辛格（Stephanie Frank Singer）的“力学中的对称性：柔和的现代介绍”是一本推荐的入门教科书（平装本）……它的优点是简短明了（包括明确解决的120个问题），充满信心地接受了辛几何和李群理论的主要现代思想。

这里的要点是，在20世纪初期，量子力学和经典力学似乎是两个非常不同的动力学理论。但是，如果我们认真对待弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）的格言，即“哈密顿力学是相空间中的几何；相空间具有辛流形的结构”，而我们也认真考虑Ashtekar / Schilling格言，即“线性结构处于最前沿”。量子力学的教科书处理主要只是技术上的便利，而重要的组成部分-状态的流形，辛结构和黎曼度量-不具有这种线性关系”，那么我们可以做得更好赞赏特洛伊·席林（Troy Schilling）1996年的论文建立在强大的数学基础上，他断言“

这个统一的几何方法古典/量子动力学成功主要是通过使经典力学显得更加神秘和量子力学似乎不太神秘......这是为学生好就知道，这是（许多）可行的方法之一来学习这两种类型的机械师。

如果您还没有看到它们，我强烈推荐Scott Aaronson的讲义“ Democritus以来的量子计算”，尤其是第9讲。他们确实以非专家的身份帮助了我，我试图将他的演讲提炼到这里和这里的要点。

就您的特定查询而言，如果您可以使用“出生规则”来计算一些简单的示例并了解“度量假设”在实践中的工作方式，那么我认为这有助于建立直觉。

我发现最容易想到的是：“如果要对算子的本征向量进行基础更改，那么测量ith结果的概率就是状态向量中ith元素幅度的平方。”

这也与量子力学是具有复数的概率的直觉联系在一起，因为振幅的平方必须等于1。

只要您正在研究量子计算，您可能还需要查看有关Shor算法的讨论。

附录。

在重新考虑了问题的形式（例如分母中的M ^† M，而不是例如单个投影机M，它足以满足投影仪的需求）并重新咨询了我的Nielsen和Chaung的副本之后，下面是一些补充详细信息我以前的答案未涵盖。（由于篇幅太长，我将其作为单独的答案发布，因为我觉得这比我以前的答案更没有“解释”。）

假设我们测量量子位X的唯一方法是间接的：通过与辅助A的“弱”交互，然后对A进行测量。我们希望能够在某种意义上将它们作为测量X的方式来讨论。我们如何仅凭X来描述这样的度量？好：假设我们可以很容易地在初始状态准备A，并执行以下类型的受控unit，以X为控件，以A为目标：$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

$$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$$

然后，我们以标准为基础测量A（以便A现在存储测量结果）。这将X的状态转换如下：

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

在上面，注意公式，如果测量的结果是Ç，最终状态的X是正比于，我们定义$|\psi_1\rangle$$|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

$$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$$

并且我们可以验证获得测量结果的概率在每种情况下都是。$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

这与描述投影测量的方式非常接近描述X的变换。但这有意义吗？好吧：如果我们可以对该过程多次迭代的结果进行统计，并且如果X最初是在标准基础上，那么我们会注意到在获得“ 0”结果时存在偏差：我们更经常获得它当X最初处于状态。如果我们可以采样足够的时间来区分测量结果是更像还是，则可以可能确定qubit最初是否处于状态$|1\rangle$$(\frac12,\frac12)$$(\frac34,\frac14)$$|0\rangle$或状态。$|1\rangle$

概率和更新公式与射影测量的相似性，以及我们可以使用测量统计信息获取有关被测状态的信息这一事实，促使“测量”概念的泛化包含了诸如上图：我们可能用一个，两个或多个运算符（实际上是“ Kraus运算符”，与CPTP映射相关的对象）描述可能的测量结果，其结果由稍微概括的Born规则描述$M_c$

$$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$$

其中是与您的测量相关联的Kraus运算符，并具有由$M_c$

$$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$$

为了使概率是保守的（使得可靠的至少一个的测量结果的发生时），我们要求。这是您问题中较为笼统的形式，由Nielsen和Chaung描述。（同样，用密度算子描述状态时看起来要好一些。）$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

一般说明。

通常，任何时候我们引入一个辅助子（或小环的集合）A，将一个量子位（或几个量子位的寄存器）X与A单元交互，然后对A进行投影测量，就会产生一种测量的X ; 然后可以用正定半算子集合来描述测量算子，使得（再次使概率保持不变）。∑ c M † c M $M_c$$\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

更一般，较弱的测量这里描述的更密切相关，POVMs，让您可以轻松地描述测量概率“抽象”，没有转换的明确选择，通过为运营商提供，并允许您使用这些在Born规则中用于计算概率。正如我在上文和先前的答复中所提到的那样，POVM可以视为描述有关系统的统计可用信息。E c = M † c M $M_c$$E_c = M_c^\dagger M_c$

以这种方式根据Kraus运算符（以及上述的“测量结果寄存器” A）来考虑测量，可以让您将测量的概念包含在CPTP映射的概念中，这是我喜欢的想法。（但是，从分析的角度来看，这并不能真正改变事情，如果您还不熟悉CPTP映射，则不必担心）。

Niel de Beaudrap关于Kraus运算符的回答非常好。关于Nielsen和Chuang教科书，这意味着应该阅读第2章，然后是第8章，然后是其中的各章。

此外，克劳斯算子表示有一个称为Lindbladian算子的无穷小极限。从广义上讲，林德布莱德算子对克劳斯算子对李代数对李群是什么。卡尔顿·凯夫斯（Carlton Caves）的在线注释“完全正图，正图和林德布拉德形态”涵盖了大部分材料。

只与无穷小Lindbladian运算符而不是Kraus运算符一起工作的优点是Lindbladians自然地回退到非希尔伯特量子状态空间。其中包括在量子化学和凝聚态物理中无处不在的张量网络状态空间；此外，拉回技术在弦论中也很普遍。

目前还没有教科书来发展这种量子动力学的几何非希尔伯特描述……但是应该有！涵盖了主要思想的教科书（带有上述参考文献）涵盖了约翰·李（John Lee）的“平滑流形”，弗伦克尔和史密特的“理解分子模拟：从算法到应用程序”，以及科洛登和潘登的“随机微分方程的数值解”。

的确，这是大量的读物……这就是为什么不在大学本科阶段教授几何量子动力学的原因。遗憾的是，对于大学生来说，很容易获得固定的观念，即量子动力学系统的状态空间是线性向量空间，即使在大多数大规模实际计算中并非如此。

至于自然界所使用的状态空间：没人知道—关于局部（切线空间）量子线性的实验证据是很强的，但是对于整体（希尔伯特空间）量子线性的证据却很弱。尤其是，可以在低维张量网络状态空间上以〜1/2 ^ {65}的所需相对精度对高精度的分子束量子动力学实验进行仿真（许多教科书将其证明为量子线性）。具有近乎完美的动力学辛辛度，取代了近乎完美的动力学线性。

由于上述原因，也许21世纪的学生不应该完全以面值接受20世纪的教科书。但是实际上，21世纪的哪个学生会以其他方式想要它？

以上是量子系统工程师如何拥抱融合几何和代数自然性的数学工具集的方法，并且通常适用于经典，量子和混合动力系统。

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编辑补充：为了验证采用几何方法进行实际量子模拟的可行性，我们的量子系统工程（QSE）组对查理·斯里希特（Charlie Slichter）的经典教科书《磁共振原理》进行了补充，增加了第3章“ 电磁偶极子展宽和极化传输”。刚性格 ”。

这种几何转录自然指向几何动力学中的多个开放性问题。例如，请参见MathOverflow问题“ 在量子动力学仿真中，泊松括号的对称（黎曼）模拟是什么？ ”

首先，为什么可观测物由运算符表示？在经典力学中，可观察的是相空间上的实值函数。它从系统中提取有关诸如能量或动量之类的值的信息，但不会影响或干扰它。如果观察者是系统的一部分，则测量是一个物理过程，并且可以改变系统的发展。为了使有限的，非无限的时间演化是统一的（即保持总概率），无限的时间演化必须是埃尔米特式的。这是斯通定理；它解释了为什么量子力学中的算子是埃尔米特算子。

如果这是有道理的，则公式从两件事得出：$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

• | ψ ⟩ 中号| ψ ⟩ ⟨ ψ | ⟨ ψ | 中号$M$描述了可观测的测量过程的无穷小时间演变。的后继者是，通过对偶性，的后继者是。$\mid\psi\rangle$$M\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid$$\langle\psi\mid M^\dagger$
• 范数是状态的总概率。结合上一点，这表明后继者的总概率为。除以平方根可归一化状态。⟨ ψ | 中号†中号| ψ $\langle\psi\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

好吧，我将提供一些与阿卡什·库玛（Akash Kumar）有关量子假设的问题有关的参考，以期鼓励学生学习数学，他们需要欣赏许多先进的框架来研究古典和量子动力学。

让我们从尼尔森·庄文本开始的地方开始，即“定理：算子和表示中的统一自由”（尼尔森·庄第8.2节）。Nielsen和Chuang的文章指出，该定理的一种实际应用是量子误差校正理论，在该理论中“对很好地理解量子误差校正至关重要。” 但随后，尼尔森·庄（Nielsen-Chuang）案文陷入沉默。

到目前为止，在Stack Exchange上给出的答复对于理解这种“单一自由”并没有多大帮助。事实证明，这是与爱因斯坦和玻尔所称的“ spukhafte Fernwirkungen”有关的量子力学所有方面的核心。 （诡异的距离作用）。特别是，这种整体自由是量子读出，量子纠错和量子密码学的关键-这是TCS学生学习量子动力学的三个主要原因。

要了解更多，学生应该阅读什么？有很多选项（其他选项可能有自己的偏好），但我将推荐霍华德·卡迈克尔（Howard Carmichael）的“量子光学中的统计方法：非经典场”，特别是第17--19章，标题为“量子轨迹I- III”。

在这三章中，Carmichael的文字从物理上激发了Nielsen-Chuang文字所编码的形式性假设和定理，即我们自由地以各种方式“分解”投影测量值（也包括非投影测量值）。从物理上讲，这种自由确保我们生活在因果可分离的宇宙中，从数学上讲，这种自由是所有量子密码学和纠错的基础。

AFACIT，是Carmichael自己在1993年发明了现在标准的术语“解散”来描述这种信息不变性。从那以后，整理文献的工作迅速增长：在arxiv服务器上对“量子”和“整理”的全文搜索找到了762篇手稿。变体拼写“展开”会找到612个手稿（可能有一些重复的手稿）。

当然，学习与量子拆解相关的数学工具集和物理思想是很多工作。合理地问，学生可以合理地期望从中获得什么收益来偿还这项辛勤工作？作为回答，这是一个单段的寓言，其主要优点是它比阅读两个非常长且困难的量子文本（Nielsen-Chuang和Carmichael）短得多。

曾几何时，一位名叫爱丽丝（Elice）的欧几里得几何学的学生问自己：“欧几里得长度的测量如何真正起作用？” 欧几里得推论者回答了爱丽丝的问题，其回答如下：“所有物理长度的测量都等同于罗盘的测量，其数学模型是数字线的一部分。” 然而，通过巨大的创造性想象力，爱丽丝想到了一个等效但更笼统的答案：“所有物理长度测量都等于沿轨迹的速度积分，其数学模型是歧管上的曲线，这些曲线上具有辛和度量形式以及动力学势。” 爱丽丝（Alice）的非欧几里得古典动力学框架值得学习，但它为她的科学，技术，

为了使寓言的观点明确，爱丽丝接受了对经典动力学的不同描述，从而使自己摆脱了欧几里得空间的严格约束。同样，当今的量子学生可以选择接受展开动力学的差异描述，从而摆脱希尔伯特空间的刚性约束。

与非欧几里得经典动力学一样，非希尔伯特量子动力学也需要学习很多工作-目前没有一本涵盖所有必要材料的教科书-但是这些新的非欧几里德/非希尔伯特动态框架为探索打开了广阔的新世界。这些探索从弦论的奥秘扩展到编写化学和材料科学中有效的，经过验证的量子模拟代码的严峻挑战。显然，在这些领域中的任何一个领域的研究都已经要求学生对古典动力学的理解要比对欧几里德的理解要深，对量子动力学的理解要比对希尔伯特的理解要深。

这就是为什么与经典动力学和量子动力学相关的数学挑战和研究机会从未比现在更大的原因。哪个好！