在SC内部寻找一个不错的问题，但不在前两个级别中

动物园的复杂性与 $\mathsf{SC}$ 无关。我正在寻找一个更好的问题，该问题位于层次结构的更高级别，即但未知在 $^\dagger$ $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^{O(1)} n)$ 。 $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2n)$

作为附带的问题，是否存在任何已知原因，为什么要在较高层次结构（，，，等）中查找良好问题的示例比第一层难？ $\mathsf{AC}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{SC}$ $\mathsf{PH}$

尽管“好”不是一个数学术语，但我认为我们可以直观地理解它的含义，例如，接受NTM的问题是人为的问题，除了完整之外，人们对此也没有兴趣，而图着色问题以前是很有趣的已知对于是不完整的/完整的，除了它属于的复杂性类别之外，仍然很有趣。 $\dagger$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

cc.complexity-theory complexity-classes

— 卡韦
source

（1）“ NTM的接受问题不是人为的问题，除了对NP完整之外，人们对此也不感兴趣”：似乎您在这里有过多的“不”。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

（2）“作为附带的问题，在更高层次的层次结构（AC，NC，SC，PH等）中查找良好问题的示例比第一层次要难得多吗？”比“降低级别更简单，因此其中有许多不错的示例”更深层的原因？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi，谢谢，我没有删除多余的东西。大约2，是的，我需要一个更深层次的原因来说明在层次结构较低的层次上出现的好问题。我没有看到

和

。

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{2} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2 n)$

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{4} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^4 n)$

— 卡夫

当然，定义是相同的。区别在于log ^ 2比log ^ 4更简单。相同的论点适用于询问为什么在时间O（n ^ 2）中运行的算法比在时间O（n ^ 4）中运行的算法更多。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi，我不确定

比

简单意味着什么。这个问题也适用于

。

\lg^{4}

$\lg^4$

\lg^{2}

$\lg^2$

P

$\mathsf{P}$

— 卡韦

我对的自然问题没有建议，但对于为何找到这样一个问题，我确实有一个建议。问题似乎很难。我认为这与民间思想有关，人们只能真正理解（或者也许只对？或对这两者都感兴趣）数学，这是几个量词的替代。例如，极限的定义是两个深的量词（对于所有epsilon都存在一个增量...）；的“的定义中 $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)}, \log^4 n)$ $L \in \mathsf{NP}$ ”是两个量词（存在一台机器，可以对所有输入...），而语句“ ”是三个量词。 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

至于，这在一定程度上的事实，有很多自然的问题，都证明了这一点 -complete，许多是自然的问题 -complete，只有少数已知的自然的问题是（请参见Schaefer和Umans的纲要）。对于较高的已知最完整的自然问题来自逻辑本身，这并不奇怪，因为在给定的逻辑中，人们常常会想到“ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$ $\mathsf{\Sigma_3 P}$ $\mathsf{PH}$ $k$ -很多量词的替换”，或者至少是某种自然的模拟方法。这些替换可能与“接受NTM的问题”属于同一类别，对于这个问题您已经宣布“不够好”。

值得一提的是，可计算性世界中也发生了同样的事情，这可能表明它与我们对交替量词的理解有更多关系，而与复杂性本身无关。的自然问题很多已知是 -complete（相当于停机问题），和许多自然的问题是公知的是完整的用于算术层次结构的第二级和第三级。但是，随着您进入算术层次结构的更高级别，已知越来越少的自然问题可以解决这些级别。我不知道，我知道一个自然的问题完成的，我从来没有听说过一个自然的问题完整的用于 $\mathsf{\Sigma^0_1}$ $\mathsf{\Sigma^0_4}$ $\mathsf{\Sigma^0_5}$ （尽管也许有）。

$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL} \subseteq \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NL}$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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这是一个非常有趣的答案。

— Suresh Venkat 2012年

谢谢约书亚，这确实是一个不错的观察。这暗示了一种认识论的观点：对于人类而言，自然的事物具有有限的量词复杂性。

— 卡夫