对分析的细化，用于网络分析

当考虑网络上的交互时，通常很难通过解析来计算动力学，并且采用近似法。通常，平均场逼近通常最终会完全忽略网络结构，因此很少是一个很好的逼近。流行的近似是对近似，它考虑了相邻节点之间固有的相关性（直觉上，我们可以将其视为边缘上的一种平均场近似）。

如果考虑考虑Cayley图，则近似值是精确的；如果考虑正则随机图，则近似值非常好。在实践中，当我们有一个平均度为k且度数围绕k紧分布的随机图时，它也提供了很好的近似值。不幸的是，许多有趣的网络和交互都无法通过这些图很好地建模。它们通常由具有非常不同的度数分布（例如，像无标度网络），具有特定的（和较高的）聚类系数或特定的平均最短路径距离的图很好地建模（更多信息，请参见Albert＆Barabasi 2001） 。$k$$k$$k$

是否存在对近似的优化方法，这些方法对这些类型的网络有效？还是有其他解析近似可用？

网络互动的一个例子

我想举一个例子说明网络交互的含义。我将包括一个进化博弈论中相对普遍的例子。

您可以将每个节点视为一个代理（通常仅由一个策略表示），它与具有优势的每个代理成对地玩一些固定的游戏。因此，给每个节点分配一些策略的给定网络会为每个节点产生收益。然后，我们使用这些收益和网络结构来确定策略在节点之间的分布，以进行下一次迭代（一个常见的示例可能是每个代理复制收益最高的邻居或此概率的某种变体）。我们通常感兴趣的问题是了解每种策略的代理商数量以及其随着时间的变化如何变化。通常，我们有稳定的分布（然后我们想知道或近似），有时甚至是极限环甚至是更多奇异的野兽。

如果我们对这种模型进行均值场逼近，则使用获取复制器方程作为动态模型，该方程公然忽略了网络结构，仅对完整图形有效。如果我们使用对近似（如Ohtsuki＆Nowak 2006），我们将获得稍有不同的动力学特性（它实际上是具有修改后的收益矩阵的复制器动力学特性，其中修改取决于图的程度以及更新步骤的细节）对于随机图，它与仿真非常匹配，但对于其他感兴趣的网络则不然。

对于更像物理学的例子：用自旋替换代理，并将收益矩阵称为相互作用哈密顿量，然后在执行定期随机测量时冷却系统。

注意事项及相关问题

• 考虑到三元组或四元组节点上的平均场近似类型的那种对近似的直接概括是笨拙的，并且仍然没有考虑到非常不同的度数分布或平均最短路径距离。

• 算法进化博弈论的来源

通常，您可能会对图论中的频谱方法感兴趣，因为它们是功能强大的工具。您可以分析图（或图的拉普拉斯矩阵）的邻接矩阵的特征值。

这样的方法不仅考虑图形的局部属性（例如，度分布），而且考虑全局的（例如，连通性，快捷方式的存在或不存在）。尤其是，频谱与线对，三角形的数量以及最短路径直接相关（请参阅第二参考）。

作为参考（我只浏览了它们，但是它们看起来很有用）：

• S.Boccaletti等。（Phys Rep 2006），复杂的网络：结构和动力学（或在此处）
• K.-I. Goh等人。（PRE 2001），无标度网络的光谱和特征向量，arXiv：cond-mat / 0103337

提出问题的方式听起来像是您在乎动力学，但是由于您所寻找的似乎是稳态解决方案，因此基态似乎是一条更有生产力的下降途径。

$\frac{1}{2}(|00\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|).$

另外，我不确定这是否是您正在寻找的东西，但是有关无标度网络的可实现性的一些最新结果表明，它们表现出两个相变，似乎已经被人们接受。 PRL。标题为“所有无标度网络都很稀疏”的预印本可以找到arXiv：1106：5150。

您可能要看两件事：

算法博弈论 7：图形游戏

进化游戏中的波动

首先介绍了如何在游戏或自旋系统中找到您所描述的平衡点。某些采用策略的元策略（尤其是与Gibbs抽样相同的策略，会导致相关的均衡），因此可以进行非常笼统，易于处理的分析。

第二种尝试使用大偏差理论预测进化博弈论模型中的大波动或“规范”的变化。解决的示例是小规模的，但是作者尝试使他使用的数学机制尽可能通用和强大，因此它可能适用于您的情况。