？

在阅读Dick Lipton的博客时，我偶然发现了他的Bourne Factor帖子结尾处的以下事实：

如果对于每个，都存在形式的关系其中，每个，和的位长均为，则因式分解为多项式电路。 $n$
$(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}$ $(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$ $m = poly(n)$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $poly(n)$

换句话说，具有指数位数的位，可以有效地表示。 $(2^n)!$

我有几个问题：

有人可以提供上述关系的证明，告诉我名称和/或提供任何参考文献吗？
如果我要给你，以及，和每一个，是否可以提供一个多项式时间算法来检查关系的有效性（即）？ $n$ $m$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $NP$

— 用户834
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那篇博客文章实际上不是相反吗？也就是说，如果上述方程式形成

一般

(2^{n})! = \sum \dots

$(2^n)! = \sum \cdots$ 具有解，则因式分解具有多项式大小的电路。

— mikero 2012年

我想您实际上写的是Dick Lipton写的相反的话。他说，如果每

这样的方程式存在，那么分解就具有多项式大小的电路。因此，这意味着如果因式分解是非均匀困难的（对于无限多个

），则不存在上述形式的方程式（对于无限多个

）。

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Sasho Nikolov

@ mikero，SashoNikolov，对不起，我都道歉。我已经编辑了我的问题。

— user834 2012年

注意，“多项式时间算法”通常是指统一算法。立顿的帖子仅断言存在用于分解的多尺寸电路系列。

— Sasho Nikolov

请注意，为了使该属性为真，

，

和

应为

/如Lipton的博客/所述，并且

为整数。您的定义不清楚。

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

p o l y (n)

$poly(n)$

p o l y (2^{n})

$poly(2^n)$

— Gopi 2012年

我将评论为什么要像问题那样建立关系（每）有助于分解。我不能完全说完论点，但也许有人可以。

(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}

$(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$

n

$n$

$(2^n)!$ $(2^n)!\bmod x$ $x$ $x$

$y!\bmod x$ $y$ $x$ $y$ $\gcd(x,y!)\ne1$ $\gcd(x,(y!\bmod x))$ $y$ $x$

$2$ $y$ $\gcd(x,(2^n)!)$ $n\le\log x$ $x$ $n$ $x$ $(2^n)!$ $(2^{n+1})!$ $x$ 是无平方的，并且所有主要因子的位长都相同。在这种情况下（不重要，请参阅Blum整数），我不知道该怎么办。

— EmilJeřábek支持Monica
source

n

$n$

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

2

$2$

p

$p$

p

$p$

x

$x$

(p^{n})!

$(p^n)!$

(p^{n + 1})!

$(p^{n+1})!$