主方程和算子总和形式

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我更像是量子光学专家，而不是量子信息专家，并且主要处理主方程。我对算子和形式感兴趣，我想对我正在模拟的一个小的量子系统以这种形式得出误差。

问题在于：量子系统是由以正弦函数建模的外部（经典）场驱动的，并且阻尼率很低，因此我无法进行旋转波近似来消除这种时间依赖性。鉴于我必须通过积分数值求解主方程，并且在时间的每次积分结果不足以找出这些误差，因此我需要做一些工作来恢复以矢量化密度运算的超级算子矩阵矩阵。也就是说，我向主方程式输入了一个矢量化的密度矩阵，该矩阵的单项输入为1，其余项为零，并针对特定时间建立矩阵。我在这里的路是否正确（健全性检查）？更明确地讲，如果 $t$ $\tau$ 是一个密度矩阵的矢量化（因此它是一个列向量）形式的1位的单个条目，在已经进化到时间，然后一个矩阵取从所述密度矩阵的矢量形式至被给定为 $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ 。 $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

问题：鉴于这种superoperator ，做 $\mathbf{M}$ ，怎样可以得到克劳斯运营商运营商求和当量的是在一个有用的形式？也就是说，所讨论的系统是一个qubit或qutrit和另一个qubit或qutrit。如果可能，我希望能够以每个矩阵上自旋矩阵的张量积的形式进行算子求和。 $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

侧问题：是一财矩阵？ $\mathbf{M}$

最后说明：我使用了Pinja建议的纸张，将接收结果授予Pinja。我自己在下面提供了一个答案，其中包含了详细信息。

quantum-information

— 字节
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您所说的“所讨论的系统是一个qubit或qutrit和另一个qubit或qutrit”是什么意思。-什么是“其他系统”？您是否在谈论使用unit +追溯实现此渠道所需的辅助条件？在这种情况下，请注意，辅助线的尺寸最大为D ^ 2，因此量子位不会起作用。

— Norbert Schuch

不，目前，它只是一个玩具模型，由两个相互耦合的小量子系统组成，并且具有不同的T1和T2时间。这个问题的答案并不严重。这是一个有趣的问题，因为将来了解更多有关如何做到这一点可能会很方便。

— qubyte

我可以将这个问题迁移到CS理论而不是物理吗？

— qubyte

好吧...我认为这在这里会很好，但是可以。

— 大卫Z

谢谢。抱歉，不是Physics.SE的忠实拥护者，无论如何，我认为面向研究的QI问题在此更加适用（被说服之后）。

— qubyte 2012年

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我在硕士论文中研究了一个非常类似的问题，其中研究了在耗散环境中驱动量子位的非马尔可夫动力学。我的兴趣是检查我获得的主方程是否完全为正，但这只是问题的一方面。如果没有进行RWA，这个问题将变得非常重要，但是我可以使用Ref获得一些结果。[ J Mod。选择。54，1695（2007） ]，并利用了量子位与环境的弱耦合这一事实。我会打鼓，也要给裁判。在一篇文章中，我介绍了其中一些结果，[P。Haikka和S. Maniscalco，物理学。Rev. A 81，052103（2010）]，您可能会发现它很有用。

啊! 事实证明，我几天前一直在看Andersson论文。它看起来确实很有希望，并给出了最具体的方法。我喜欢有一种方法来解决问题。老实说，我需要找些时间坐下来看看。目前，这更多是一个个人项目。

— qubyte

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作为对量子力学的一个马尔可夫过程的回答，特别是卡尔顿·凯夫斯（Carlton Caves）的在线注释“ 完全正图，正图和Lindblad形式 ” ，提供了参考资料，对有助于回答该问题的物理思想和数学工具进行了调查。

$M$ $M$ $M$ $M$ 整体以数字形式给出。

$M$

如果可以通过“转动算法曲柄”有效地回答此类问题，那么量子物理学将是一个远不那么有趣的学科！:)

— 约翰·西德尔斯
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我几乎希望不是这种情况，但可以这样。可悲的是，在仅移相而无人口减少的情况下，该系统仅具有可利用的对称性。Lindblad主方程式有一个非常吸引人的形式，它可以将非克劳斯形式的项收集到非埃尔米特哈密顿量中，如果哈密顿量没有时间依赖性，则可以用来选择自然表示衰减的基础作为其余的克劳斯条款。整洁，但对我没有帮助。

— qubyte

Caves笔记中的参考文献之一是Wolf和Cirac 划分量子通道（arXiv：math-ph / 0611057），我建议在没有丝毫把握的情况下亲自掌握本文讨论的（许多和微妙的）量子信息问题！:)

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

6

我认为您可能正在寻找的是：真实密度矩阵。它为您提供了在各种超级操作符表示之间进行转换的方法（包括使用Paulis的张量积基础）。利用结果的详细的量子过程层析成像实验在这里：量子傅里叶变换的量子过程层析成像。更一般而言，Havel在这里还派生了算法，可将其转换为最小的Kraus表示：在量子动力学半群的Lindblad，Kraus和矩阵表示之间进行转换的过程。

${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— 克里斯·费里
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这很有趣，可能正是我在寻找的东西

— qubyte

我刚刚看到了你的加入。谢谢，这非常有用。我最初使用的是您的vec版本，但现在我使用堆叠的列。感谢维基百科的那个。为了清楚起见，也许我应该采用您的表示法。

— qubyte

4

正如Pinja所指出的，Andersson等人的论文。（arXiv）（DOI）特别有用。这篇论文非常详细，我今天终于坐下来仔细看了一下。作为一个示例问题，我选择了两个具有交换交互作用的量子位来检查它，这是我正在考虑的最低版本。首先，主方程为

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

L_{n, m} = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

如果我们将主方程作为作用在矢量化密度算符上的矩阵进行处理，则可以表示为

L_{n, m} = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

它允许在一个矩阵方程中导出L，但是这有点离题了。

$L$ $F$ $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ $S$

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

最后，精彩的部分。

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

$S$ $\Lambda$ $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

这在预期的时间独立性情况下适用于退出和退出。我需要检查在时间依赖的情况下是否可行。

— 字节
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