黑手党有多难？

《黑手党》是聚会上流行的角色扮演游戏，有关详细说明，请访问Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29。

基本上，它的工作方式如下：

• 最初，玩家中的每一个都被暗中分配了一个角色，与黑手党或城镇保持一致。每个角色可能都有特殊的能力；稍后再讨论。$N$

• 游戏分为两个阶段：白天和黑夜。在晚上，黑手党可以彼此秘密交流；他们可能会同意当晚他们谋杀的一名目标球员。在Day，所有（活跃的）玩家都在一个开放的论坛中进行交流。玩家可能同意私下一名玩家，因此绝对需要所有玩家的绝大部分。

• 如果仅剩黑手党或仅剩城镇，则游戏结束。幸存党获胜。

• 让我们假设有三个角色：Citizen，Investigator和Mafioso。公民没有权力。黑手党成员除了晚上能够互相交流并每晚可以为一名谋杀受害者投票外，也无能为力。调查人员可以在每晚的晚上调查另一位玩家，以了解他们的确切角色。

• 假设游戏开始于一天，并且玩家的角色在死亡时就被揭示

取胜策略

给定一个设置的我调查，Ç公民，米黑手党，我们说的设置是赢得了镇，如果有一个城市的玩家的策略，这样他们就赢，无论怎样的黑手党扮演。$(i,c,m)$$i$$c$$m$

请注意，我们可以假设黑手党发挥了全面的作用，因为我们想考虑他们可以做出的任何决定。

例如：该设置赢得了镇。$(4,1,1)$

第1天：所有城镇玩家如实报告自己在公开聊天中的角色。黑手党玩家必须声称自己是调查员或公民。

如果他声称拥有公民身份，那么黑手党人就是两名被指控的公民之一。每个调查员可以调查其中一个，然后找出真实的一个。最多只有一名调查员可以在夜间死亡，而其他两名则只是将黑手党吊死。

因此，黑手党组织必须要求调查员。有5名涉嫌调查者。在公开聊天中，调查人员同意进行排列以相互检查。

晚上1：调查人员检查目标，黑手党杀害了目标。

第2天：还剩下3名调查员。所有据称的调查人员均报告其调查结果。无论谁被杀，至少还有一个被另一位活着的调查员证实。由于黑手党声称是调查员，因此他还需要说明他指定的目标是否是黑手党。如果他陷害某人，则该镇知道他或被陷害的一个人是黑手党，与另一个已确认的3镇相对。如果他不框框任何人，则还将有3个已确认的城镇。无论哪种方式，都不要将任何人吊死，并调查剩下的仅有的两名嫌疑人赢得了Town。

问题

• 决定给定设置是否接受Town的获胜策略有多难？从直觉上讲，这听起来像是一个问题。有人可以提出减少的建议吗？$PSPACE$
• 我们可以找到最少的制胜法宝吗？就像我们可以最小化或（i + c ）：m的比率吗？$i:m$$(i+c):m$

这是您要查看的参考：http : //www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

黑手党：对部分信息环境中的参与者和联盟的理论研究。Braverman，M.和Etesami，O.和Mossel，E.应用概率年鉴2008

首先，请注意，如果我们正在为Town寻找确定性的获胜策略，则首先向每个公民询问自己的角色是有益的。这是因为，无论黑手党宣称自己是哪个镇的胜利者，提出要求显然都没有害处。如果黑手党能够宣布自己的主张并在这种情况下获胜，那么他们就假装自己做了宣布，并据此行事。

同样，由于没有底层结构，因此像这样的游戏可能不会完成PSPACE。我坚信，不难分析i，c，m的所有值。下面我为m = 1执行此操作。因此，从现在开始，我们假设只有一个黑手党成员M，而游戏首先要询问角色。现在，M要求调查员或公民。让我们检查两种情况。

案例1：M索赔调查员

如果i = 0，则c至少为2时，Town获胜。

如果i = 1，则如果c至少为4，则Town获胜。对于较小的数字，他们输掉了，因为M每晚都可以杀死一个公民。

如果i = 2，则如果c至少为3，则Town获胜。3名被指控的调查员可以循环方式互相询问。M被透露出来，除非其中一个人死亡，所以他必须杀死一名调查员。这将游戏减少到i = 1的情况。

如果i = 3，则如果c至少为1，则Town获胜。4名被指控的调查员可以循环方式互相询问。M被透露出来，除非其中一个人死亡，所以他必须杀死一名调查员。现在，M最多有两种可能性，至少还剩下5个人，所以他们可以杀死两者。如果c = 0，则无论他们如何互相询问，M总是可以杀死某人并保持隐藏（通过案例分析），因此Town没有确定性的胜利。

如果i> = 4，则就像在i = 3的情况下一样，Town由被指称的调查员以循环的顺序互相询问获胜。

案例2：M要求公民

这里的游戏要简单得多，调查员在每个回合中询问不同的人，M每晚都会杀死其中一个人（杀害调查员总是比杀死一个公民更好）。另外，有时他们可能投票杀死一个公民（实际上，这样做总是可以的，除非i = 2和c = 1）。由于使用了递归，最好也允许被证明是无辜的公民，并用n表示他们的人数。

镇胜，如果

i = 0，n> = c + 2，i = 1，n> = c + 1，i = 2，n> = c-2，从这里我们可以看到（也很容易证明）对于一般的i Town仅当n> = c + 2-i ^ 2时获胜。由于在实际游戏中一开始没有无辜公民，这意味着如果i ^ 2> = c + 2，则城镇获胜。

综上所述：如果i <= 2，则Town没有确定性的胜利。对于i = 3，Town赢得1 <= c <= 7（因为0 M可以要求调查员，而c> = 8则可以要求公民）。对于i> = 4，Town赢得c <= i ^ 2-2。