覆盖时间和频谱间隙可逆的随机游走

我正在寻找一个类似这样的定理：如果可逆马尔可夫链的覆盖时间很小，那么光谱间隙就很大。这里的光谱间隙意味着$1-|\lambda_2|$，也就是说，我们忽略了链的最小特征值。

我只能从FOCS 88的Broder和Karlin 的Cover Time上找到这个方向的唯一结果。假定链的过渡矩阵是双重随机的（但不一定是可逆的）并且是非周期性的。粗略地说，该论文表明，在这些假设下，如果覆盖时间为，则至少为n ^ {-1}。$O(n \log n)$$1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$$n^{-1}$

直观地，如果您可以快速覆盖图形的所有顶点，则混合时间应该很小，这似乎是非常合理的。特别是，如果您可以在$n^2$时间内覆盖图形的所有顶点，那么您当然应该能够排除n ^ {-1000}的谱隙$n^{-1000}$。

可能会破坏小覆盖时间和大光谱间隙之间的关系的一个可能障碍是二分性：在二分图中，您可以使用特征值为-1的小覆盖时间$-1$。在我的问题中，我忽略了最小的特征值，从而绕过了这个问题。

粗略地说，混合时间是最坏情况下一半顶点的碰撞时间。 覆盖时间是命中所有顶点子集的停止时间。换句话说，它总是大于混合时间。因此，您的示例无法具有混合时间和覆盖时间。 $n^{1000}$$n^2$

使这种直觉变得精确需要一点点注意，因为我们需要将混合时间与特征值间隙相关联，不取一半的顶点，而是取一半的平稳分布等。这都不困难。从Lovasz和Winkler的这篇论文开始，给出了以上版本的混合时间，并将其与总变化中更标准的混合时间联系起来。 $\pi$