Questions tagged «random-walks»

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醉鸟vs醉酒的蚂蚁:二维和三维之间的随机游动
众所周知,二维网格中的随机游走会以1的概率返回原点。众所周知,同一三维空间的随机游走返回原点的概率严格小于1。 我的问题是: 两者之间有东西吗?例如,假设我的空间实际上是平面的边界区域,该区域在z方向上被拉伸到无穷大。(通常称为2.5维)。二维结果是适用的还是三维结果? 这是在讨论中提出的,一个启发式论据说它在二维上起作用是因为平面的有限区域最终将被覆盖,所以行走的唯一非平凡部分是沿z方向的一维射线,因此返回到起源会发生。 在二维维和三维维之间还可以插入其他形状吗? 更新(从评论中拉出):在MO上提出了一个相关问题 -简短的总结是,如果步行的尺寸为(2 + ϵ)偶数,则不确定的收益会从分散的序列中轻松得出。但是,上述问题与IMO略有不同,因为我要问的是其他可能允许一定收益的形状。

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联合树问题的随机查询复杂度
Childs等人在2003年发表的重要论文。引入了“联合树问题”:一个承认指数量子加速的问题,这与我们所知道的任何其他此类问题都不一样。在这个问题中,我们得到了一个指数级的图形,如下图所示,它由两个深度为n的完整二叉树组成,它们的叶子通过一个随机周期相互连接。我们提供了ENTRANCE顶点的标签。我们还提供了一个预言机,该预言机给定任何顶点的标签,告诉我们其相邻节点的标签。我们的目标是找到EXIT顶点(可以轻松识别,它是图形中除ENTRANCE顶点之外唯一的2度顶点)。我们可以假设标签是随机的长字符串,因此,以极大的概率,除ENTRANCE顶点以外的其他顶点由oracle赋予。 查尔兹等。表明量子游走算法能够简单地遍历该图,并在poly(n)步骤之后找到EXIT顶点。相比之下,他们还表明,任何经典的随机算法都需要exp(n)步骤才能高概率地找到EXIT顶点。他们将其下界表示为Ω(2 n / 6),但我认为仔细检查其证明会得出Ω(2 n / 2)。直观地讲,这是因为以极大的概率,图上的随机游走(甚至是自我规避的游走等)将在广阔的中间区域停留一段指数时间:任何时候,步行者开始向出口走去,远离EXIT的大量边缘将作为“排斥力”,将其推向中间。 他们对参数进行形式化的方式是表明,直到访问〜2 n / 2个顶点之前,随机算法甚至都没有在图中找到任何循环:到目前为止,所看到的诱导子图只是一棵树,没有提供有关退出顶点可能在哪里的任何信息。 我有兴趣更精确地确定此问题的随机查询复杂度。我的问题是这样的: 谁能提出一种经典算法,以不到2 n的步长找到EXIT顶点,比如O(2 n / 2)或O(2 2n / 3)?或者,有人能给出比Ω(2 n / 2)更好的下界吗? (请注意,根据生日悖论,在O(2 n / 2)个步骤之后在图形中查找循环并不难。问题是,是否可以使用循环来获取有关EXIT顶点在哪里的任何线索。) 如果有人可以改善超过Ω(2 n / 2)的下界,那么据我所知,这将提供具有指数量子加速比的黑盒问题的第一个可证明示例,其随机查询复杂度大于√N 。(其中N〜2 n是问题大小。) 更新:我从安德鲁·柴尔兹(Andrew Childs)那里了解到,在本笔记中,芬纳(Fenner)和张(Zhang)明确将联合树的随机下界提高到Ω(2 n / 3)。如果他们愿意接受恒定的(​​而不是指数上较小的)成功概率,我相信他们可以将界限进一步提高到Ω(2 n / 2)。

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随机游走中不同节点的数量
连接图中的通勤时间G = (V,E)G=(V,Ë)G=(V,E)定义为在访问节点之前再次到达节点之前,从开始的随机游走中的预期步数。它基本上是两个命中时间和的总和。一世一世iĴĴj一世一世iH(i ,j )H(一世,Ĵ)H(i,j)H(j ,我)H(Ĵ,一世)H(j,i) 是否有与通勤时间类似(不完全相同)但根据节点定义的内容?换句话说,什么是预期数量的不同节点随机游走开始并返回在将访问?一世一世i一世一世i 更新(2012年9月30日):关于随机步行者在格子上(即)访问的不同站点的数量,有许多相关工作。例如,请参阅:http : //jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1?isAuthorized=nožñžñ\mathbb{Z}^n 有人读过一些东西吗?

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有向图的覆盖时间
给定图形上的随机游走,则覆盖时间是该游动击中(覆盖)每个顶点的第一时间(预期步数)。对于连接的无向图,覆盖时间已知为上限O(n3)O(n3)O(n^3)。有覆盖时间指数呈强连通的有向图nnn。这样的一个例子,是由一个有向循环的有向图(1,2,...,n,1)(1,2,...,n,1)(1, 2, ..., n, 1),和边缘(j,1)(j,1)(j, 1),从顶点j=2,...,n−1j=2,...,n−1j = 2, ..., n − 1。从顶点开始,对于随机游走预期的时间内达到顶点是。我有两个问题:Ñ Ω (2 Ñ)111nnnΩ(2n)Ω(2n)\Omega(2^n) 1)有多项式覆盖时间的有向图的已知类别是什么?这些类别的特征可能是图形理论性质(或)或相应的邻接矩阵性质(例如)。例如,如果A是对称的,则图的覆盖时间为多项式。AAAAAA 2)是否有更简单的示例(例如上述循环示例),其中覆盖时间是指数的? 3)是否存在具有准多项式覆盖时间的示例? 我希望您能找到与此主题相关的好的调查报告/书籍的指针。

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固定度数的随机有向图的性质
我对具有固定出度的随机有向图的性质ddd感兴趣。我正在想象一个随机图模型,其中每个顶点都选择d个邻居(例如替换) 问题:关于这些随机图(对于各种值)的随机游动的平稳分布和混合时间是否已知? ddd 我对的情况特别感兴趣,它对应于布尔字母上的随机自动机模型。(是的,我意识到这些图通常没有连接,但是在给定的组件中会发生什么?)我对部分结果以及关于这些图的其他属性的结果感到满意。d=2d=2d = 2 似乎大多数有关随机图的文献都集中在Erdős-Rényi模型上,该模型与我正在考虑的模型具有非常不同的特性。

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一次量子命中时间
在论文《量子随机行走以指数方式更快地命中(arXiv:quant-ph / 0205083)》中,肯普给出了量子行走(在超立方体中)的命中时间这一概念,在量子行走文学中并不十分流行。定义如下: 单次量子击中时:离散时间量子游走有(T,p)(T,p)(T,p)一次性(|Ψ0⟩,|Ψf⟩)(|Ψ0⟩,|Ψf⟩)(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle) -hitting如果时间|⟨Ψf|UT|Ψ0⟩|2≥p|⟨Ψf|UT|Ψ0⟩|2≥p|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p其中|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle是初始状态,|Ψf⟩|Ψf⟩|\Psi^f\rangle是目标状态,并且p>0p>0p>0 是命中率。 通常,您想知道最小TTT使得p>0p>0p>0。不可能(如果我错了,请纠正我)定义平均击球时间的概念,因为您将需要在步行过程中进行测量,并将其折叠成经典的步行方式。这就是为什么我们只有一个想法。在同一工作中,有一个应用到量子路由(请参阅第5节)。 为了知道步行到达了目标顶点,您只需要在该节点进行测量。例如,在具有2 个n节点的nnn维超立方体中,如果您从node | Ψ 0 ⟩ = | 00 ... 00 ⟩和有作为目标节点| Ψ ˚F ⟩ = | 11 ... 11 ⟩,本文显示,Ť = Ö (Ñ )具有有界错误概率,即p → 1作为Ñ2n2n2^n|Ψ0⟩=|00…00⟩|Ψ0⟩=|00…00⟩|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle|Ψf⟩=|11…11⟩|Ψf⟩=|11…11⟩|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangleT=O(n)T=O(n)T=O(n)p→1p→1p\to 1nnn变得非常大。因此为了检测步行到达|11…11⟩|11…11⟩|11\dots11\rangle你做出之后进行测量Ω(n)Ω(n)\Omega(n)步骤。这是指数级的加速。 问题: 要使用击中时间这一概念进行搜索,您至少需要知道目标顶点与原点的距离,因为这是您知道何时应用度量的方式。假设您有一个图形,并将其设置为初始顶点v 0并希望达到v f。还假定Ť = Ö (d 我小号吨(v 0,v ˚F))和p ≥ 1 / …

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从量子跃迁到经典随机游走
快速版本 线上是否存在量子游走的退相干模型,以便我们可以对任何进行调整,使其传播为?1 / 2 ≤ ķ ≤ 1Θ (tķ)Θ(tk)\Theta(t^k)1 / 2 ≤ ķ ≤ 11/2≤k≤11/2 \leq k \leq 1 动机 经典的随机游走在算法设计中很有用,而量子随机游走已被证明可用于制作许多很酷的量子算法(有时具有可证明的指数加速)。因此,重要的是要了解量子和经典随机游走之间的区别。有时,最简单的方法是考虑玩具模型,例如在路上行走。 也有一个物理动力:知道量子力学如何扩展到经典力学很有趣。但这与理论无关。 我的个人动机是完全正交的:我试图将一些实验数据与从量子平稳过渡到经典且相对直观的模型进行匹配。 背景 当考虑整数行上的量子游走和经典游走时,一个关键的区别是量子游走的(位置分布的)标准偏差为而经典游走的标准差为,其中是离散模型的步数,或连续模型的时间。请注意,这不仅限于直线,而且对于许多图形,您会看到量子混合时间和经典混合时间之间的二次关系相似,因此我考虑了该直线的受限情况,因为我认为它更易于分析。Θ (吨1 / 2)吨Θ (吨)Θ(t)\Theta(t)Θ (t1 / 2)Θ(t1/2)\Theta({t^{1/2}})Ťtt 当我们向量子步态引入去相干性(通过测量或通过噪声)时,步态开始表现得更加经典。实际上,对于大多数测量而言,如果从正确的时间尺度来看,我们最终得到的经典步态传播为。对于其他形式的退相干(例如使硬币失相或在行中引入瑕疵),通常存在一个尖锐的阈值,在该阈值以下,步态具有量子行为(传播为),而在该阈值之上,步态开始是经典的(传播为)。实际上,甚至已经提出将这种缩放比例作为量子行走的定义。Θ (吨)Θ (吨1 / 2)Θ (t1 / 2)Θ(t1/2)\Theta(t^{1/2})Θ (吨)Θ(t)\Theta(t)Θ (t1 / 2)Θ(t1/2)\Theta(t^{1/2}) 长版问题 是否存在用于线上随机游走的退相干模型,例如,当我们改变退相干量时,对于任何,我们都可以实现位置的标准偏差,缩放为?或者,对于其他在混合或击中时间上有间隔的图,是否存在退相干形式,因此对于任何,我们都可以得到混合/击中/标准偏差,其和,其中是经典混合/命中/ STD,是纯量子。如果这不可能,那么为什么我们看到这种一种或另一种行为有更深的原因?1 / 2 ≤ …

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仅使用近似最大查询来找到近似argmax
考虑以下问题。 有未知值。任务是仅使用以下形式的查询来找到最大的索引。查询由集合,对应的答案是。目标是使用尽可能少的查询。nnnv1,⋯,vn∈Rv1,⋯,vn∈Rv_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}S⊆{1,⋯,n}S⊆{1,⋯,n}S \subseteq \{1,\cdots,n\}maxi∈Svimaxi∈Svi\max_{i \in S} v_i 这个问题很容易:我们可以使用二进制搜索通过O(logn)O(log⁡n)O(\log n)查询来找到argmax 。即用nnn叶子对应索引建立一个完整的二叉树。从根开始,然后按以下步骤走到一片叶子。在每个节点上,查询左右子树中的最大值,然后移到答案较大的一侧的子级。到达叶子后,输出其索引。 我的研究提出了以下该问题的嘈杂版本。 有nnn未知值v1,⋯,vnv1,⋯,vnv_1, \cdots, v_n。这些可以通过查询来访问,其中指定了一个S⊆{1,⋯,n}S⊆{1,⋯,n}S \subseteq \{1, \cdots, n\},并从N(maxi∈Svi,1)N(maxi∈Svi,1)\mathcal{N}(\max_{i \in S} v_i,1)中返回了一个样本。目标是在\ {1,\ cdots,n \}中标识i_ * \,以i∗∈{1,⋯,n}i∗∈{1,⋯,n}i_* \in \{1, \cdots, n\}使E[vi∗]≥maxivi−1E[vi∗]≥maxivi−1\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - 1使用尽可能少的查询。(期望超过了i_ *的选择i∗i∗i_*,这取决于算法的代币和嘈杂的查询答案。) 假设我们尝试使用与以前相同的二进制搜索策略(但带有嘈杂的答案)解决此问题。可以很容易地证明它达到E[vi∗]≥maxivi−O(logn)E[vi∗]≥maxivi−O(log⁡n)\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - O(\log n)并且在最坏的情况下这很严格。我们可以通过将每个查询重复O(\ log ^ 2 …

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简单无向图中的随机游走和平均击球时间
令是n个顶点和m个边上的简单无向图。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)nnnmmm 我正在尝试确定用于生成G的随机生成树的Wilson算法的预期运行时间。那里,它被示出为ø (τ ),其中,τ是平均击打时间:τ = Σ v ∈ V π (v )⋅ ħ (Û ,v ),其中:GGGO(τ)O(τ)O(\tau)ττ\tauτ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),τ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),\tau = \sum_{v \in V} \pi(v) \cdot H(u, v), 是平稳分布 π (v )= d (v )ππ\pi ,π(v)=d(v)2mπ(v)=d(v)2m\pi(v)=\frac{d(v)}{2m} 是一个任意顶点,并且uuu 是命中时间(AKA访问时间),即从顶点 u开始访问顶点 v之前的预期步数。H(u,v)H(u,v)H(u,v)vvvuuu 平均击球时间的一般上限是多少?最大化平均命中时间的最坏情况图是什么?GGG 为了使我的问题更清楚,我不需要任何计算或详细的证明(尽管它们可能对将来遇到此问题的其他人很有用)。对我个人而言,引用就足够了。 Θ(n)Θ(n)\Theta(n)Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n \log n) Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n3)Θ(n3)\Theta(n^3)O(n2)O(n2)O(n^2)O(n3)O(n3)O(n^3) 我知道有两种威尔逊算法的公开实现。一个在Boost Graph Library中,第二个在graph-tool中。前者的文档没有提及运行时间,而后者则指出: O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n) 哪一个没有回答问题,实际上似乎与威尔逊的论文不一致。但我报告这是为了以防万一,以节省与咨询实现文档相同想法的任何人的时间。 Ω(n3)Ω(n3)\Omega(n^3)1n1n\frac{1}{n}O(n2)O(n2)O(n^2) …

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使用局部交换对图形上的令牌进行改组
令是度为有界的不规则连通图。假设每个节点都包含一个唯一的令牌。G=(V,E)G=(V,E)G= (V, E) 我想只使用局部交换(即在两个相邻节点之间交换令牌)在图之间均匀地拖曳令牌吗?是否存在针对此问题的下限? 我唯一的想法是使用随机游走结果,然后查看需要多少交换来“模拟”图形上代币的随机游走效果。

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覆盖时间和频谱间隙可逆的随机游走
我正在寻找一个类似这样的定理:如果可逆马尔可夫链的覆盖时间很小,那么光谱间隙就很大。这里的光谱间隙意味着1−|λ2|1−|λ2|1-|\lambda_2|,也就是说,我们忽略了链的最小特征值。 我只能从FOCS 88的Broder和Karlin 的Cover Time上找到这个方向的唯一结果。假定链的过渡矩阵是双重随机的(但不一定是可逆的)并且是非周期性的。粗略地说,该论文表明,在这些假设下,如果覆盖时间为,则至少为n ^ {-1}。O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)1−max(|λ2|,|λn|)1−max(|λ2|,|λn|)1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)n−1n−1n^{-1} 直观地,如果您可以快速覆盖图形的所有顶点,则混合时间应该很小,这似乎是非常合理的。特别是,如果您可以在n2n2n^2时间内覆盖图形的所有顶点,那么您当然应该能够排除n ^ {-1000}的谱隙n−1000n−1000n^{-1000}。 可能会破坏小覆盖时间和大光谱间隙之间的关系的一个可能障碍是二分性:在二分图中,您可以使用特征值为-1的小覆盖时间−1−1-1。在我的问题中,我忽略了最小的特征值,从而绕过了这个问题。

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有关随机游走的技术问题
(我的原始问题仍未得到解答。我添加了进一步的说明。) 通过将随机游走视为马尔可夫链来分析随机游走(在无向图上)时,我们要求图是非二分图的,以便应用马尔可夫链的基本定理。 如果该图会发生什么 GGG而是二分的?我对打发时间特别感兴趣H我,Ĵhi,jh_{i,j},之间有一条边 一世ii 和 Ĵjj 在 GGG。说二部图GGG 已 米mm边缘。我们可以向图中的任意顶点添加自环,以生成结果图G′G′G'非二分 将马尔可夫链的基本定理应用于G′G′G' 然后我们得到 hi,j&lt;2m+1hi,j&lt;2m+1h_{i,j} < 2m+1 在 G′G′G',这显然也是 hi,jhi,jh_{i,j} 在 GGG。 问题:更强的主张是真的吗 hi,j&lt;2mhi,j&lt;2mh_{i,j} < 2m 持有 GGG?(在2SAT的随机游走算法分析中已经看到了这一点。)还是我们真的必须经历添加自环的额外步骤?

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如何随机生成有界的高度生成树?
对于我正在从事的项目,我应该生成具有有限高度的随机生成树。 基本上,我执行以下操作:1)生成生成树2)检查可行性,如果可行,请保留它。 1)从最小生成树(Prim或Kruskal的树)开始,我添加一个不存在的边,这创建了一个循环,我检测到此循环并删除了该循环的边之一,这给了我新的生成树,然后我继续通过添加新边来生成树... 2)假设有一个特殊的顶点。对于每个顶点,从到的路径的长度应小于,其中是给定的参数。vÇ È Ñ 吨Ë řvcente[Rv_{center}vvvvvvVÇ È Ñ 吨Ë řVcente[RV_{center}δδ\deltaδδ\delta 有什么更好的(聪明的)方法吗? PS我忘了指定另一个约束(我的错误):顶点的度也应定界。
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