从量子跃迁到经典随机游走

快速版本

线上是否存在量子游走的退相干模型，以便我们可以对任何进行调整，使其传播为？1 / 2 ≤ ķ ≤ $\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$

动机

经典的随机游走在算法设计中很有用，而量子随机游走已被证明可用于制作许多很酷的量子算法（有时具有可证明的指数加速）。因此，重要的是要了解量子和经典随机游走之间的区别。有时，最简单的方法是考虑玩具模型，例如在路上行走。

也有一个物理动力：知道量子力学如何扩展到经典力学很有趣。但这与理论无关。

我的个人动机是完全正交的：我试图将一些实验数据与从量子平稳过渡到经典且相对直观的模型进行匹配。

背景

当考虑整数行上的量子游走和经典游走时，一个关键的区别是量子游走的（位置分布的）标准偏差为而经典游走的标准差为，其中是离散模型的步数，或连续模型的时间。请注意，这不仅限于直线，而且对于许多图形，您会看到量子混合时间和经典混合时间之间的二次关系相似，因此我考虑了该直线的受限情况，因为我认为它更易于分析。Θ （吨1 / 2）$\Theta(t)$$\Theta({t^{1/2}})$$t$

当我们向量子步态引入去相干性（通过测量或通过噪声）时，步态开始表现得更加经典。实际上，对于大多数测量而言，如果从正确的时间尺度来看，我们最终得到的经典步态传播为。对于其他形式的退相干（例如使硬币失相或在行中引入瑕疵），通常存在一个尖锐的阈值，在该阈值以下，步态具有量子行为（传播为），而在该阈值之上，步态开始是经典的（传播为）。实际上，甚至已经提出将这种缩放比例作为量子行走的定义。Θ （吨）Θ （吨1 / 2$\Theta(t^{1/2})$$\Theta(t)$$\Theta(t^{1/2})$

长版问题

是否存在用于线上随机游走的退相干模型，例如，当我们改变退相干量时，对于任何，我们都可以实现位置的标准偏差，缩放为？或者，对于其他在混合或击中时间上有间隔的图，是否存在退相干形式，因此对于任何，我们都可以得到混合/击中/标准偏差，其和，其中是经典混合/命中/ STD，是纯量子。如果这不可能，那么为什么我们看到这种一种或另一种行为有更深的原因？1 / 2 ≤ ķ ≤ 1 ˚F （吨）˚F ∈ ＆Sigma; （克（吨））˚F ∈ Ô （ħ （吨））克（吨）ħ （吨$\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$$f(t)$$f \in \Sigma(g(t))$$f \in O(h(t))$$g(t)$$h(t)$

好问题。实际上，几个月前我正在研究的东西中出现了相同的问题（arXiv：1011.1217）。似乎任何自然类型的退相干都会导致最初看起来很平衡的行为，但随着时间的流逝而变得扩散，因此您正在体制和体制之间过渡。有关此示例，请参见上述论文中的图2。随着您的状态逐渐失去连贯性，这似乎是自然的行为。$t$$t^{\frac{1}{2}}$

这似乎表明方差仅按或缩放，因此步态扩展为或。$t$$t^2$$t^{\frac{1}{2}}$$t$

但是，当引入噪声时，量子计量学中会发生完全相同的事情，但是可以克服这一问题，以产生中间缩放（请参阅例如JA Jones等人，Science，324，5931（2009），arXiv：1103.1219，arXiv：1101.2561，等等。）。可以做到这一点的一种方法是进行中间测量。

想象一下，在每个时间段使波函数崩溃之后，测量助行器的位置，并允许两者之间自由演化。现在，假设我们要发展总时间为。然后，此时间之后助行器位置的方差将为。在没有其他退相干的情况下，我们知道步行者会弹道运动，因此，因此。但是，由于，我们可以取和。因此$T$$t=nT$$\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$$\mbox{Var}(x(T)) = T^2$$\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$$t=nT$ T ∝ t 1 − k Var（x （t ））= t 2 − $n\propto t^k$$T\propto t^{1-k}$$\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$。这样，您可以通过适当选择测量间隔来实现任何中间缩放。